高中四个均值不等式 公式是什么
2024-09-28 11:27:21 学考宝 作者：佚名
常用的四个均值不等式包括：算术平均不等式、几何平均不等式、平方平均不等式和调和平均不等式。高中均值不等式：a²+b²≥2ab；√(ab)≤(a+b)/2；a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3；a+b+c≥3×三次根号abc。
四个均值不等式是什么
1. 算术平均不等式：对于任意非负实数a和b，成立不等式
$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$。
这个不等式告诉我们，如果两个数的和除以2大于等于它们的乘积的平方根，那么它们的和除以2至少不小于它们的乘积的平方根。
2. 几何平均不等式：对于任意非负实数a和b，成立不等式
$\sqrt{ab} \geq \frac{a+b}{2}$。
这个不等式告诉我们，如果两个数的乘积的平方根大于等于它们的和除以2，那么它们的乘积的平方根至少不小于它们的和除以2。
3. 平方平均不等式：对于任意非负实数a和b，成立不等式
$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$。
这个不等式告诉我们，如果两个数的平方和除以2的平方根大于等于它们的和除以2，那么它们的平方和除以2的平方根至少不小于它们的和除以2。
4. 调和平均不等式：对于任意正实数a和b，成立不等式
$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \frac{a+b}{2}$。
这个不等式告诉我们，如果两个数的倒数的平均值小于等于它们的和除以2的倒数，那么它们的倒数的平均值至少不大于它们的和除以2的倒数。
这四个常用的均值不等式在数学和实际问题中有广泛的应用，可以帮助我们建立或判断数值之间的关系。拓展知识：除了上述四个常用的均值不等式，还有一些其他的均值不等式，如夹逼定理、加权平均不等式等，它们在不同的数学领域和问题中也发挥着重要作用。
均值不等式的公式
1、调和平均数：Hn=n/(1/a_1+1/a_2+⋯+1/a_n )
2、几何平均数：Gn=n√(a_1 a_2…a_n )
3、算术平均数：An=(a_1+a_2+⋯+a_n)/n
4、平方平均数：Qn=√((a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2)/n)
5、均值定理： 如果
属于正实数那么且仅当时 等号成立。
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（当r不等于0时）；
（a1a2...an)^(1/n）（当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））
则 [1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵
由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
均值定理的证明：因为 a 〉0 ， b 〉0 所以 a+b/2 - √ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0
即 a+b/2≥√ab. 当且仅当√a= √b ,等号成立。
