已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若时，关于的方程有...
2024-01-30 08:44:05 学考宝 作者：佚名
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题目
已知函数
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
时，关于
的方程
有唯一解，求
的值；
（3）当
时，证明: 对一切
，都有
成立．
答案和解析
解：（1）由已知得x＞0且
．
当k是奇数时，
，则f(x)在(0,+
)上是增函数;
当k是偶数时，则
．
所以当x
时，
，当x
时，
．
故当k是偶数时，f (x)在
上是减函数，在
上是增函数． 4分
（2）若
，则
．
记
,
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解； 令
,得
．因为
，所以
（舍去），
． 当
时，
，
在
是单调递减函数；
当
时，
，
在
上是单调递增函数．
当x=x2时, 
，
． 因为
有唯一解，所以
．
则
即
设函数
，
因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解．
因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得
10分
另解:
即
有唯一解,所以:
,令
,则
,设
，显然
是增
函数且
，所以当
时
，
当
时
，于是
时
有唯一的最小值，所以
，综上：
．
（3）当
时， 问题等价证明
由导数可求
的最小值是
，当且仅当
时取到，
设
，则
，
易得
，当且仅当
时取到，
从而对一切
，都有
成立．故命题成立． 16分
![函数的定义域是 .答案：[2，+∞]](https://static.xuekaobao.com/202407/96bk660nejpm3.gif)
