湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试卷（含答案）
2024-08-07 17:55:13 学考宝 作者：佚名
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衡阳县第四中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试卷
【满分：150分】
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐照.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选徐其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结東后，将本试巻和答题卡一并收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为( )
A.240 B.216 C.180 D.108
2.已知是等差数列的前n项和，，则( )
A.22 B.33 C.40 D.44
3.已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若，，则 B.若，，，则
C.若，，则 D.若，，则
5.我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象，如图所示，下列结论错误的是( )
A.图象具有对称性，对称轴是直线
B.当或时，函数值y随x值的增大而增大
C.当或时，函数最小值是0
D.当时，函数的最大值是4
6.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为( )
A.与的夹角为
B.
C.
D.在上投影向量为（其中为与同向的单位向量）
7.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，，若将直线绕点F逆时针旋转得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则( )
A.的最大值为
B.的图象关于点对称
C.是偶函数
D.不等式的解集是
10.若复数，则下列正确的是( )
A.当或时，z为实数
B.若z为纯虚数，则或
C.若复数z对应的点位于第二象限，则
D.若复数z对应的点位于直线上，则或
11.已知函数关于x的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，，，，若，则( )
A.
B.
C.M的最小值为
D.M的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知多项式，则___________.
13.已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，，，，则四棱锥外接球的体积为__________.
14.已知函数，其中表示p，q中的最大值，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.（13分）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，，.
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数a，使得为钝角三角形 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
16.（15分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的菱形，，AC与BD交于点O，平面平面ABCD，，，.
（1）求证：平面ABCD；
（2）若，点Q为AE的中点，求二面角的余弦值.
17.（15分）已知椭圆的右顶点为，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左焦点和左顶点分别为F和，过点F的直线与C交于M，N两点，直线
与交于点P，证明：点P在定直线上.
18.（17分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，，是函数的两个极值点，证明：恒成立.
19.（17分）每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.
（1）以频率作为概率，试求A河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；
（2）该地河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.
现此企业有如下三种应对方案：
方案 防控等级 费用（单位：万元）
方案一 无措施 0
方案二 防控1级灾害 80
方案三 防控2级灾害 200
试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案 并说明理由.
答案
1.答案：C
2.答案：B
3.答案：C
4.答案：B
5.答案：D
6.答案：D
7.答案：D
8.答案：A
故选：A.
9.答案：ACD
10.答案：ACD
11.答案：AC
12.答案：74
13.答案：
14.答案：
15.答案：（1）
（2）存在，且
16.
解析：（1）证明：如图，取BC中点G，连接FG，OG，
因为，所以，
又因为平面平面ABCD，平面平面，
平面，
所以平面ABCD，O，G分别为AC，BC中点，
所以，.
因为，，
，，
所以四边形EFGO为平行四边形，
所以，所以平面ABCD.
（2）如图，以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴建立空间坐标系，设，
，，，，
，，，，，
设平面QBC的法向量，，，
则即，
则.
设平面ABC的法向量，
设二面角的平面角为，为锐角，
所以.
二面角的余弦值.
17.
解析：（1）依题意可得：.又，则，所以，所以，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由（1）得，所以直线l的方程为，
由，可得，
设，，显然，
所以，，
故.
由题意可得，，则直线的方程为，
直线的方程为.
设直线与的交点坐标为，
则，
故
，
解得，故直线与的交点在直线上.
18.
解析：（1）的定义域为，
，
①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令，得或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，则，所以在上单调递增；
④当时，令，得或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
在时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
（2），则的定义域为，，
若有两个极值点，，，则方程的判别式
，且，，所以，
因为，所以，得，
所以
设，其中，
令得，
又，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
即的最大值为，而，
，
从而恒成立.
19.答案：（1）0.155
（2）企业应选择方案二
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