河南省郑州市2023-2024学年高二上学期10月联考试题 数学（解析版）

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2023－2024学年高二年级阶段性测试（一）
数 学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在梯形 中，，且，点为空间内任意一点，设，，则向量=（ ）
A. B.
C. D.
4. 若直线与直线平行，则的值是（ ）
A. 1或 B. C. D. 或
5. 已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知点，点在直线上运动，当取得最小值时，点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵中，，当鳖臑的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知点到直线的距离相等，则直线的方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若两个不同平面的法向量分别为，则
D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则
12. 已知动直线，则下列结论中正确的是（ ）
A 直线恒过第四象限
B. 直线可以表示过点的所有直线
C. 原点到直线的距离的取值范围是
D. 若与交于点，则的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点在直线上，且位于第一象限，若点到直线的距离为，则点的坐标为______.
14. 已知点，，，则在上的投影向量的模为______.
15. 若三条互不重合的直线不能围成三角形，则=______.
16. 在平面四边形中，，等腰三角形底边上的高，沿直线将向上翻折角至，若，则直线与所成角的余弦值的取值范围是______.
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知直线经过直线的交点．
（1）若直线经过点，求直线的方程;
（2）若直线与直线垂直，求直线的方程．
18. 已知直线 和直线，其中为实数．
（1）若，求的值;
（2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程．
19. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
（1）设平面的法向量为，求的值;
（2）求异面直线与 所成角的余弦值.
20. 已知直线．
（1）求证：直线过定点；
（2）若当时，直线上点都在轴下方，求的取值范围；
（3）若直线与轴、轴形成的三角形面积为1，求直线的方程．
21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2 的菱形，，为线段与的交点，平面，，于点 ．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
22. 如图，在三棱锥中，两两互相垂直，分别为棱的中点，是线段的中点，且
（1）求证：平面．
（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
2023－2024学年高二年级阶段性测试（一）
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线方程为，代入已知点坐标求得参数值即得．
【详解】设直线方程为，又直线过点，
所以，，即直线方程为．
故选：B．
2. 已知，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线倾斜角为，根据题意求得，得到，即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，
由直线，可得斜率为，即，
解得，即直线的倾斜角的取值范围为.
故选：B.
3. 如图，在梯形 中，，且，点为空间内任意一点，设，，则向量=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知及几何体中对应线段的位置关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出即可.
【详解】
.
故选：D
4. 若直线与直线平行，则的值是（ ）
A. 1或 B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.
【详解】由直线与直线平行，
可得，解得，所以实数的值为.
故选：C.
5. 已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】表示出向量，根据法向量定义，依次验证各选项中的向量与是否都垂直即可.
【详解】由题意知：，，
对于A，，，
与均垂直，是平面的一个法向量，A正确；
对于B，，与不垂直，
不是平面的一个法向量，B错误；
对于C，，与不垂直，
不是平面的一个法向量，C错误；
对于D，，与不垂直，
不是平面的一个法向量，D错误.
故选：A.
6. 已知点，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，设点，结合向量的数量积的运算公式，得到，根据二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为点在直线上运动，且，设点，
可得，
则，
根据二次函数的性质，可得时，取得最小值，
此时点的坐标为.
故选：A.
7. 在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵中，，当鳖臑的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据鳖臑体积最大求出和的值，建系求出各点坐标，利用向量即可求出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】在堑堵中，，，，
，
，
，
，当且仅当是等号成立，
即当鳖臑的体积最大时，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
故选：C．
8. 在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点关于线的对称求解关于直线的对称点，即可根据两点求解的方程,即可求解直线方程.
【详解】过作关于直线的对称点，则在直线上，
设，根据且的中点在直线上，得，
解得，所以，
又，所以直线方程为，故方程为，
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（ ）
A B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标表示，依次判断，，，是否为0即可.
【详解】对于A，，，所以，又因为平面，所以平面.
对于B，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面.
对于C，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面.
对于D，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面.
故选：BCD
10. 已知点到直线的距离相等，则直线的方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意可得直线过线段的中点或，再逐一检验各个选项即可.
【详解】由点到直线的距离相等，
得直线过线段的中点或，
对于A，直线的方程为，即，故A选项符合；
对于B，将线段的中点代入得，
所以直线过线段的中点，故B符合；
对于C，将线段的中点代入得，
所以直线不过线段的中点，故C不符合；
对于D，将线段的中点代入得，
所以直线过线段的中点，故D符合.
故选：ABD.
11. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若两个不同平面的法向量分别为，则
D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由直线的方向向量垂直得直线垂直，由直线的方向向量与平面的法向量垂直得直线与平行的位置关系，由两平面的法向量平行得平面平行，由平面的法向量与平面的向量垂直得参数关系，从而判断各选项．
【详解】选项A，由于，即，∴，A正确；
选项B，∵，所以或，B错；
选项C，，即，∴，C正确；
选项D，，平面的法向量，则，
，代入得，D错．
故选：AC．
12. 已知动直线，则下列结论中正确的是（ ）
A. 直线恒过第四象限
B. 直线可以表示过点的所有直线
C. 原点到直线的距离的取值范围是
D. 若与交于点，则的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】A令判断即可；B求出直线所过的定点判断；C利用点线距离公式及二次函数性质求范围；D易知，则，应用基本不等式、三角形三边关系求范围.
【详解】A：当时，，显然不过第四象限，错；
B：由，令，则直线恒过，
由也过点，但对于直线，无论a取何值都不可能与直线重合，
所以直线不可以表示过点的所有直线，错；
C：原点到直线的距离，，则，对；
D：由，即，如下图，则，
所以，即，当且仅当时等号成立，
又，当与重合时等号成立，
故的取值范围是，对.
故选：CD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点在直线上，且位于第一象限，若点到直线的距离为，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设点，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由点在直线上，可设点，因为点到直线的距离为，则，整理可得，解得或，
当时，位于第一象限，满足题意；当时，位于第四象限，不满足题意，所以点的坐标为.
故答案为：.
14. 已知点，，，则在上的投影向量的模为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出、的坐标，即可得到、，最后根据计算可得.
【详解】因为，，，
所以，，
所以，，
所以在上的投影向量的模为.
故答案为：
15. 若三条互不重合的直线不能围成三角形，则=______.
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案.
【详解】当三条直线交于同一点时，
，即交点为.
将代入，解得，直线为，
与重合，舍去.
当与平行时，即，解得，舍去.
当与平行时，，解得，
此时直线为，符合题意.
故答案为：4
16. 在平面四边形中，，等腰三角形的底边上的高，沿直线将向上翻折角至，若，则直线与所成角的余弦值的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】取AC中点O，连接OB，过点O作平面，以点O为原点建立空间直角坐标系，设二面角的大小为，把直线AC与所成角的余弦表示为的函数，求出函数最大值作答.
【详解】因，所以，
又因为腰三角形的底边上的高，所以，
过作于H，连接，如图，
显然，绕直线AC旋转过程中，线段DH绕点H在垂直于直线AC的平面内旋转到，
取AC中点O，连接OB，因，有，，
，过点O作平面，
以点O为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，
则，，，显然有平面，
设二面角的大小为，
有，
因为沿直线将向上翻折角至，且，
所以，即，所以，
则有，
的方向向量为，设直线AC与所成的角为，
于是得，
因设二面角的大小为，，
于是得，
所以直线AC与所成角的余弦值的取值范围是:.
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：
（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知直线经过直线的交点．
（1）若直线经过点，求直线的方程;
（2）若直线与直线垂直，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程.
（2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果.
【小问1详解】
由得，
即直线和的交点为．
直线还经过点，
的方程为，即．
【小问2详解】
由直线与直线垂直，
可设它的方程为．
再把点的坐标代入，可得，解得，
故直线的方程为.
18. 已知直线 和直线，其中为实数．
（1）若，求的值;
（2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程．
【答案】（1）或0
（2）或．
【解析】
【分析】（1）利用直线垂直的条件分类讨论斜率情况计算即可；
（2）将点P坐标带入直线方程先计算得，再利用点斜式求截距，计算即可.
【小问1详解】
若，则直线 ，即，，两直线垂直，符合题意；
若，则，解得．
综上，或0.
【小问2详解】
由在直线上，得，解得，可得，
显然直线的斜率一定存在且不为0，不妨设直线的方程为，
令，可得，再令，可得，
所以，解得或，
所以直线的方程为或，
即或．
19. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
（1）设平面的法向量为，求的值;
（2）求异面直线与 所成角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由法向量与平面内的两个不共线向量垂直（数量积为0）求解；
（2）由空间向量法求异面直线所在角（求出两异面直线的方向向量夹角的余弦值即可得）．
【小问1详解】
由题可知，
，
则即
解得 ；
【小问2详解】
，
∴，
又，
∴，
故异面直线与所成角的余弦值为．
20. 已知直线．
（1）求证：直线过定点；
（2）若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围；
（3）若直线与轴、轴形成的三角形面积为1，求直线的方程．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）或
【解析】
分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；
（2）由时对应点的纵坐标不小于0可得；
（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．
【小问1详解】
由，得．
由直线方程的点斜式可知，直线过定点；
【小问2详解】
若当时，直线上的点都在轴下方，
则
解得 ，
所以k的取值范围是；
【小问3详解】
设直线与轴的交点为A，与轴的交点为，坐标原点为．
当时，得|，当时，得，
所以，
即，
解得或，
所以直线的方程为或．
21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2 的菱形，，为线段与的交点，平面，，于点 ．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直证得是等边三角形，利用中位线的性质证线线平行即可判定线面平行；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.
【小问1详解】
易知是的中点，
∵平面，平面，
∴，则．
∵菱形的边长为2，，
易得，
∴，即，
∴是等边三角形，
∵，
∴是的中点，∴，
又平面，平面，
∴平面；
【小问2详解】
由（1）及条件易知两两互相垂直，以为坐标原点，
分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则令，得，
∴，
结合图可知，二面角为锐角，故其余弦值为.
22. 如图，在三棱锥中，两两互相垂直，分别为棱的中点，是线段的中点，且
（1）求证：平面．
（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接．证明平面平面后可得证线面平行；
（2）分别以所在的直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，假设，由空间向量法求线面角，即可得出结论．
【小问1详解】
如图，取的中点，连接．
∵为的中点，∴，
∵平面，平面，
∴∥平面
∵为中点，
∴．
∵分别为的中点，
∴，则 ．
∵平面，平面，
∴平面，
又 ，平面，
∴平面平面，
∵平面，
∴平面．
【小问2详解】
由题知，可得底面，
由题易知．
∵90°，∴以A为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
∴，
设平面的法向量为，
则不妨令，可得．
设，则．
由，
解得，这与矛盾，
故棱上不存在一点，使得直线与平面所成的角为.

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