2024年陕西省西安市周至县中考数学一模试卷(含解析)

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2024年陕西省西安市周至县中考数学一模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算：8÷（﹣4）＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．32 D．﹣32
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）一把直尺和一个含30°角的三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若∠1＝28°，则∠2的度数是（　　）
A．62° B．56° C．45° D．28°
4．（3分）计算（﹣8xy3） xy2的结果是（　　）
A．2x2y5 B．2x2y6 C．﹣2x2y6 D．﹣2x2y5
5．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，AB＝1，AC＝3，则AD的长为（　　）
A．3 B．2 C．2 D．3﹣1
7．（3分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
8．（3分）抛物线y＝a（x﹣1）2﹣2（a≠0）当﹣1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值为（　　）
A．1 B． C．或 D．或
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）关于x的方程x2+bx+2＝0有一个根为1，则b的值为 　 　．
10．（3分）若一个正多边形的一个内角是140°，则这个多边形的边数为 　 　．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE，若AB＝6，BC＝8，则AE的长为 　 　．
12．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，连接BC，AD∥BC交y轴于点D，若S四边形ABCD＝6，则k的值为 　 　．
13．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 　 　．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解不等式：．
15．（5分）解方程：x2+6x+2＝0．
16．（5分）已知反比例函数．
（1）若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围；
（2）若点A（2，3）在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．
17．（5分）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，利用尺规作图法在上求作一点D，使得点D到B、C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，连接AE．求证：AB＝AE．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）点A关于原点O对称的点A'的坐标为 　 　；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1．
20．（5分）周至县历史悠久，山川秀丽，风景名胜与文物古迹颇多，人文和自然景观十分丰富，汉家离宫唐家园林，星罗棋布．小刚和小强两人准备从A．楼观台国家森林公园，B．黑河国家森林公园，C．河湿地公园，D．终南山鼓楼观景区中各自任意选择一景点游玩．
（1）小刚选择的景点是“沙河湿地公园”的概率为 　 　；
（2）请用列表法或画树状图的方法求两人选择的景点不同的概率．
21．（6分）某童装店销售一批童装，这批童装的进价为80元/件，售价为120元/件，平均每天可售出20件．为扩大销量，童装店采取了降价措施．通过调查发现，每件童装每降价1元，童装店平均每天可多售出2件童装，若童装店销售这批童装平均每天的盈利为1200元，求这批童装降价后每件的售价．
22．（7分）某市今年券猴桃喜获丰收．元旦这天甲超市进行猾猴桃优惠促销活动，猕猴桃销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示．
（1）当x≥4时，求销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式；
（2）乙超市猕猴桃的标价为8元/千克，元旦当天也进行优惠促销活动，按标价的9折销售．若购买12千克券猴桃，通过计算说明在哪个超市购买更划算．
23．（7分）某同学进行社会调查，随机抽查了某小区的40户家庭的年收入（万元）情况，并绘制了如图不完整的频数表和频数分布直方图．
（1）年收入的中位数落在第 　 　组，补全频数分布直方图；
（2）如果每一组的平均年收入均以组中值计算，这40户家庭的年平均收入为多少万元？
（3）如果该小区有1200户住户，请你估计该小区有多少户家庭的年收入低于18万元？
组别 收入x（万元） 户数 组中值（万元）
1 10≤x＜14 4 12
2 14≤x＜18 4 16
3 18≤x＜22 6 20
4 22≤x＜26 12 24
5 26≤x＜30 m 28
6 30≤x＜34 4 32
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，AD交⊙O于点E，且＝，连接AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）F为⊙O上一点，连接AF，若AF∥CD，AC＝5，AF＝6，求⊙O的半径．
25．（8分）如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽P为12米．以点O为原点，OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围）
（2）如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”ABCD，使点A，D在抛物线上，点B，C在OP上，求所需的三根“光带”AB，AD，DC的长度之和的最大值．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图1，AB为⊙O的弦，在⊙O上找一点P并画出，使点P到AB的距离最大；（不需要说明理由）
【问题探究】
（2）如图2，在扇形AMB中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上一动点，连接AB，MP，AB与MP交于点Q，若，BM＝9，求PQ的最大值；
【问题解决】
（3）某公园有一圆形水池⊙O（如图3），AB、AD是水池上的两座长度相等的小桥，且∠BAD＝60°，现规划人员计划再修建两座小桥BC和CD，桥的入口C在水池边上（即点C在⊙O上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形ABCD面积最大，已知AB＝AD＝60m，修建小桥的成本为100元/m，当四边形ABCD的面积最大时，求修建BC和CD两座小桥的总成本．
2024年陕西省西安市周至县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算：8÷（﹣4）＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．32 D．﹣32
【解答】解：8÷（﹣4）＝﹣2，
故选：B．
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
3．（3分）一把直尺和一个含30°角的三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若∠1＝28°，则∠2的度数是（　　）
A．62° B．56° C．45° D．28°
【解答】解：如图，
根据题意得：AB∥CD，∠4＝90°，
∴∠2＝∠3，∠1+∠3＝90°，
∵∠1＝28°，
∴∠2＝∠3＝90°﹣28°＝62°．
故选：A．
4．（3分）计算（﹣8xy3） xy2的结果是（　　）
A．2x2y5 B．2x2y6 C．﹣2x2y6 D．﹣2x2y5
【解答】解：
＝
＝﹣2x2y5，
故选：D．
5．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过一、二、三象限可知k＞0，两结论一致，故本选项符合题意；
B、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过一、三、四象限可知k＞0，两结论相矛盾，故本选项不符合题意；
C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k＞0，两结论相矛盾，故本选项不符合题意；
D、由反比例函数的图象在二、四象限知k＜0，由一次函数图象与y轴的交点在负半轴知k＞0，两结论相矛盾，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，AB＝1，AC＝3，则AD的长为（　　）
A．3 B．2 C．2 D．3﹣1
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴∠ACE＝90°，AC＝CE＝3，AB＝DE＝1，
∴AE＝＝＝3，
∴AD＝AE﹣DE＝3﹣1；
故选：D．
7．（3分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
【解答】解：连接OC，OC交AB于D，
由题意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（米），∠ADO＝90°，
∴OD＝＝＝（米），
∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣）米，
即点C到弦AB所在直线的距离是（3﹣）米，
故选：C．
8．（3分）抛物线y＝a（x﹣1）2﹣2（a≠0）当﹣1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值为（　　）
A．1 B． C．或 D．或
【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2﹣2，
∴对称轴为x＝1，
当a＞0时，当x＝1时有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值是y＝4a﹣2，
∵y的最大值与最小值的差为3，
∴4a﹣2﹣（﹣2）＝3，
解得：a＝；
当a＜0时，当x＝1时有最大值﹣2，当x＝﹣1时，有最小值是y＝4a﹣2，
∵y的最大值与最小值的差为3，
∴﹣2﹣（4a﹣2）＝3，
解得：a＝﹣；
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）关于x的方程x2+bx+2＝0有一个根为1，则b的值为 　﹣3　．
【解答】解：将x＝1代入方程，得1+b+2＝0，
解得b＝﹣3，
故答案为：﹣3．
10．（3分）若一个正多边形的一个内角是140°，则这个多边形的边数为 　九　．
【解答】解：180°﹣140°＝40°，
360°÷40°＝9．
故答案为：九．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE，若AB＝6，BC＝8，则AE的长为 　2　．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴CD＝CE＝6，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣6＝2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝2，
故答案为：2．
12．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，连接BC，AD∥BC交y轴于点D，若S四边形ABCD＝6，则k的值为 　﹣6　．
【解答】解：设点A坐标为（m，n），
k＝丨m丨 丨n丨＝S四边形ABCD＝6，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
13．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 　　．
【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝3，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝，
∴DQ＝＝，
∴DQ的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解不等式：．
【解答】解：去分母得：3（x+1）+2（x﹣1）≤6，
去括号得：3x+3+2x﹣2≤6，
移项、合并同类项得：5x≤5，
系数化为1得：x≤1．
15．（5分）解方程：x2+6x+2＝0．
【解答】解：方程x2+6x+2＝0，
配方得：（x+3）2＝7，
开方得：x+3＝±，
解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
16．（5分）已知反比例函数．
（1）若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围；
（2）若点A（2，3）在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，
∴3﹣m＞0，
解得m＜3；
（2）∵点A（2，3）在此反比例函数图象上，
∴2×3＝3﹣m，
∴3﹣m＝6，
故反比例函数解析式为y＝．
17．（5分）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，利用尺规作图法在上求作一点D，使得点D到B、C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图，点D即为所求．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，连接AE．求证：AB＝AE．
【解答】解：由旋转的性质可得BC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝30°，
∴∠ACE＝∠ACB＝30°，
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACB（SAS），
∴AB＝AE．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）点A关于原点O对称的点A'的坐标为 　（3，﹣4）　；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1．
【解答】解：（1）点A关于原点O对称的点A'的坐标为（3，﹣4），
故答案为：（3，﹣4）；
（2）△A1B1C1如图所示．
20．（5分）周至县历史悠久，山川秀丽，风景名胜与文物古迹颇多，人文和自然景观十分丰富，汉家离宫唐家园林，星罗棋布．小刚和小强两人准备从A．楼观台国家森林公园，B．黑河国家森林公园，C．河湿地公园，D．终南山鼓楼观景区中各自任意选择一景点游玩．
（1）小刚选择的景点是“沙河湿地公园”的概率为 　　；
（2）请用列表法或画树状图的方法求两人选择的景点不同的概率．
【解答】解：（1）∵共有A．楼观台国家森林公园，B．黑河国家森林公园，C．河湿地公园，D．终南山鼓楼观景区四个景区，
∴小刚选择的景点是“沙河湿地公园”的概率＝，
故答案为：；
（2）根据题意列表如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由表可得，一共有16种等可能的结果，其中两人选择的景点不同的有12种结果，
∴两人选择的景点不同的概率＝＝．
21．（6分）某童装店销售一批童装，这批童装的进价为80元/件，售价为120元/件，平均每天可售出20件．为扩大销量，童装店采取了降价措施．通过调查发现，每件童装每降价1元，童装店平均每天可多售出2件童装，若童装店销售这批童装平均每天的盈利为1200元，求这批童装降价后每件的售价．
【解答】解：设这批童装降价后每件的售价为x元，则每件的销售利润为（x﹣80）元，日销售量为20+2（120﹣x）＝（260﹣2x）件，
根据题意得：（x﹣80）（260﹣2x）＝1200，
整理得：x2﹣210x+11000＝0，
解得：x1＝100，x2＝110．
答：这批童装降价后每件的售价为100或110元．
22．（7分）某市今年券猴桃喜获丰收．元旦这天甲超市进行猾猴桃优惠促销活动，猕猴桃销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示．
（1）当x≥4时，求销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式；
（2）乙超市猕猴桃的标价为8元/千克，元旦当天也进行优惠促销活动，按标价的9折销售．若购买12千克券猴桃，通过计算说明在哪个超市购买更划算．
【解答】解：（1）当x≥4时，设销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为y＝kx+b，
将（4，40），（10，79）代入得，
，
解得，
∴当x≥4时，销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为：y＝6.5x+14；
（2）依题意，甲超市：6.5×12+14＝92（元），
乙超市：8×0.9×12＝86.4（元），
∵86.4＜92，
∴乙超市更划算．
23．（7分）某同学进行社会调查，随机抽查了某小区的40户家庭的年收入（万元）情况，并绘制了如图不完整的频数表和频数分布直方图．
（1）年收入的中位数落在第 　4　组，补全频数分布直方图；
（2）如果每一组的平均年收入均以组中值计算，这40户家庭的年平均收入为多少万元？
（3）如果该小区有1200户住户，请你估计该小区有多少户家庭的年收入低于18万元？
组别 收入x（万元） 户数 组中值（万元）
1 10≤x＜14 4 12
2 14≤x＜18 4 16
3 18≤x＜22 6 20
4 22≤x＜26 12 24
5 26≤x＜30 m 28
6 30≤x＜34 4 32
【解答】解；（1）由题意可得，
26≤x＜30的用户有：40﹣4﹣4﹣6﹣12﹣4＝10，
补全的频数分布直方图如图所示，
中位数是第20个和第21个数据的平均数，
由频数分布表可得，中位数落在22万元至26万元收入段内，即第4组．
故答案为：4；
（2）由题意可得，
这40户家庭的年平均收入至少为：＝23.2（万元），
即这40户家庭的年平均收入至少为23.2万元；
（4）由题意可得，
1200×＝240（户）
即该小区有240户家庭的年收入低于18万元．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，AD交⊙O于点E，且＝，连接AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）F为⊙O上一点，连接AF，若AF∥CD，AC＝5，AF＝6，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图，连OC，
∵＝，
∴∠EAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴OC∥AD，
∴∠OCD+∠D＝180°，
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：如图，延长CO交AF于G点，由（1）知OC⊥CD，
∵AF∥CD，
∴OG⊥AF，
∴AG＝AF＝3，
∵AC＝5，
∴CG＝＝＝4，
在Rt△AOG中，根据勾股定理得：OG2+AG2＝OA2，
设半径为r，则OG＝CG﹣OC＝4﹣r，
∴（4﹣r）2+32＝r2，
∴r＝．
∴⊙O的半径为．
25．（8分）如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽P为12米．以点O为原点，OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围）
（2）如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”ABCD，使点A，D在抛物线上，点B，C在OP上，求所需的三根“光带”AB，AD，DC的长度之和的最大值．
【解答】解：（1）由题意可设这条抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+6，
∵抛物线过O（0，0），
∴36a+6＝0，
解得，
∴这条抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6；
（2）设点A的坐标为，
则，
根据抛物线的轴对称，可得：OB＝m＝CP，BC＝12﹣2m，AD＝12﹣2m，
令L＝AB+AD+DC
＝
＝
＝，
∵，开口向下，
∴当m＝3时，最大值为15，
∴当OB＝3米时，三根“光带”长度之和的最大值为15米．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图1，AB为⊙O的弦，在⊙O上找一点P并画出，使点P到AB的距离最大；（不需要说明理由）
【问题探究】
（2）如图2，在扇形AMB中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上一动点，连接AB，MP，AB与MP交于点Q，若，BM＝9，求PQ的最大值；
【问题解决】
（3）某公园有一圆形水池⊙O（如图3），AB、AD是水池上的两座长度相等的小桥，且∠BAD＝60°，现规划人员计划再修建两座小桥BC和CD，桥的入口C在水池边上（即点C在⊙O上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形ABCD面积最大，已知AB＝AD＝60m，修建小桥的成本为100元/m，当四边形ABCD的面积最大时，求修建BC和CD两座小桥的总成本．
【解答】解：（1）过点O作AB的垂线，交优弧于点P，点P即为所求；
（2）过点M作PM⊥AB交AB于点Q，
∵PQ＝PM﹣QM，PM是半径，不会随着点P的运动而改变，
∴当QM有最小值时，PQ有最大值，
即当PM⊥AB时，QM最小，此时PQ最大，
∵AB＝4，
∴AQ＝BQ＝2，
∴QM＝＝5，
∴PQ＝PM﹣QM＝9﹣5＝4，
∴PQ的最大值为4；
（3）当AC经过圆心时，四边形ABCD面积最大，
根据垂径定理可得DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴AC＝2DC，
由勾股定理可得602+DC2＝（2DC）2，
解得DC＝BC＝20，
∴修建BC和CD两座小桥的总成本为：（20+20）×100＝4000（元）．

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