3.3抛物线 练习-2023-2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修一（含解析）

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3.3抛物线 练习
一、单选题
1．若抛物线的顶点为坐标原点，焦点为椭圆的右焦点，为抛物线上的动点，，则的最小值为( )
A．4 B．5 C．6 D．2 17
2．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作斜率为的直线与C在第一象限内相交于点P，过点P作于点M，连接MF交C于点N，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知点是一个定点，则的最小值是
A． B． C． D．
4．已知以抛物线E：的焦点为圆心，与的准线相切的圆交于两点，则（ ）
A．2 B．4
C． D．6
5．已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，点为抛物线的焦点，为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2
C． D．
6．抛物线上一点到焦点的距离为，则点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知拋物线（）的焦点为，点为拋物线上位于第一象限内一点，若且直线的斜率为，则拋物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知过抛物线C：的焦点的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若，为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．4
二、多选题
9．已知抛物线（）上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的可能取值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．
C．△NAB面积的最小值为6 D．若直线AB的斜率为，则
11．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
12．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线准线上的射影分别为，，交准线于点（为坐标原点），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．直线轴 D．的最小值是16
三、填空题
13．抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(2，1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为 ．
14．已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则 ．
15．已知圆与抛物线（）的准线相切，则 .
16．已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ．
四、应用题
17．如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．
18．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
19．如图所示，已知点是抛物线上一定点，直线、的斜率互为相反数，且与抛物线另交于两个不同的点.
（1）求点到其准线的距离；
（2）求证：直线的斜率为定值.
20．已知抛物线过点，焦点为.
(1)求抛物线的方程；
(2)求过点的抛物线的切线方程；
(3)从点发出的光线经过点被抛物线反射，求反射光线所在的直线方程.
参考答案：
1．C
【分析】过P作准线的垂线，与准线交于，则.
【详解】由题知抛物线焦点为，准线方程为，
过P作准线的垂线，与准线交于，则，
∴，当且仅当、P、Q三点共线时（如图虚线位置）取最小，此时
故选：C.
2．C
【分析】如图，过点N作准线l的垂线，垂足为Q，则由已知条件结合抛物线的定义可得，设直线PF的倾斜角为，则，求出，再结可求得结果.
【详解】如图，过点N作准线l的垂线，垂足为Q，
则，轴．
因为，所以．
设直线PF的倾斜角为，则，
所以，
解得或（舍去），
所以，
所以，
所以，即．
故选：C

3．B
【详解】试题分析：如下图所示，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义可知，，过点作准线的垂线，垂足为，则，故选B.
考点：抛物线的定义及几何性质.
4．B
【分析】抛物线焦点，以为圆心的圆与抛物线准线相切，由抛物线定义及对称性知为抛物线通径.
【详解】
, 焦点，
以为圆心的圆与抛物线准线相切，由抛物线定义及对称性知为抛物线通径.
故选：B
【点睛】涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
5．A
【分析】根据双曲线的对称性可知,所以，进而根据即可求解，根据离心率公式即可求解.
【详解】抛物线的准线为，代入双曲线方程得，
为直角三角形,由知，,所以，由等腰直角三角形进而可得,故有，所以.
故选：A
6．B
【分析】根据抛物线的定义解题即可.
【详解】设，因为，所以，所以，解得
故选：B．
7．C
【分析】设拋物线的准线为，作，垂足为，由题意可得直线的倾斜角为，根据抛物线的定义可判断为等边三角形，进而得，，从而利用三角函数列式计算.
【详解】设拋物线的准线为，作，垂足为，由抛物线的定义得．因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以，故为等边三角形，因此，且，所以，得，所以抛物线的方程为.
故选：C．
8．B
【分析】先求得抛物线的方程，然后求得直线的方程，求得以及原点到直线的距离，进而求得的面积.
【详解】依题意，，所以抛物线的方程为.
依题意可知与抛物线的准线垂直，
在直角三角形中，，
则，
所以直线的方程为，
由消去并化简得，
易得，，则，
原点到直线的距离为，
所以.
故选：B

9．BD
【分析】根据抛物线性质可得，代入抛物线方程，解得p的值，可得答案.
【详解】因为抛物线（）上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，
所以 ，即 ，代入抛物线方程可得，
整理得，解得或,
故选:BD．
10．ABD
【分析】设直线AB方程为 , ，根据弦长公式表示出，可判断A;求出点N的坐标，根据斜率之间的关系，可判断B;表示出点点N到直线AB的距离，继而求得，可判断C; 直线AB的斜率为，结合可求得，即可判断D.
【详解】由题意知 ,设直线AB方程为 , ，
联立 ，可得 ， ，
故，
则，
故当 时，的最小值为4，故A正确；
又 ，即M点纵坐标为2m,故 ，
当时，轴，NF在x轴上，此时 ;
当时, ， ，故，
综合可知，,故B正确；
又点N到直线AB的距离为 ，
故 ，当 时，取最小值4，故C错误；
若直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即 ，
则，
由于A在第一象限，故解得 ，
故 ，由于同向，故，故D正确，
故选：ABD
11．AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

12．ACD
【分析】先求出抛物线的焦点和准线方程. 设直线AB的方程为，利用“设而不求法”判断选项ABC,利用焦半径公式判断选项D.
【详解】∵抛物线方程为，∴抛物线的焦点，准线方程为.
设直线AB的方程为，联立，得，∴，.
∴，∴.故A正确；
∵，∴.故B错误；
又∵，，三点共线，
∴，∴，又∵，∴，∴直线轴.故C正确；
设直线AB的倾斜角为，根据抛物线的焦半径公式得，，
∴，当且仅当轴时等号成立，∴D正确.
故选：ACD
13．3＋
【分析】过M作MN垂直于抛物线的准线l，由抛物线的定义得到MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，然后由A、M、N三点共线时求解.
【详解】如图所示，
过M作MN垂直于抛物线的准线l，垂足为N．易知F(1，0)，
因为△MAF的周长为|AF|＋|MF|＋|AM|，
|AF|＝，|MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，
所以当A、M、N三点共线时，△MAF的周长最小，
最小值为2＋1＋．
故答案为：3＋
14．2
【分析】利用抛物线定义即可求解.
【详解】设，根据抛物线定义可知，，又点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则，解得.
故答案为：2
15．
【分析】首先求出圆的圆心坐标及半径，抛物线的准线方程，再根据准线和圆相切即可得到答案.
【详解】圆，圆心，半径.
抛物线，准线方程.
因为圆与相切，
所以，解得.
故答案为：
16．
【分析】分别画出抛物线和圆图象，由抛物线定义以及圆上点与圆外一点距离的最值问题即可求得结果.
【详解】如图所示：

由圆的标准方程为可知圆心，半径为，
抛物线的焦点为，准线方程为，
由抛物线定义可知，
圆外一点到圆上点的距离满足，即；
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立；
即的最小值为．
故答案为：
17．(1)
(2)作图见解析，．
【分析】（1）由抛物线的定义，O为坐标原点可建立平面坐标系，即可求抛物线C的方程
（2）由抛物线的定义，公路总长，即可求公路总长最小值
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意得，，则抛物线．
（2）如图，设抛物线C的焦点为F，则，
∵城镇P位于点O的北偏东30°处，，∴，
根据抛物线的定义知，公路总长．
当与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为．
18．(1)，，草图见解析
(2)，，草图见解析
(3)，，草图见解析
(4)，，草图见解析
【分析】根据抛物线的方程，即可得焦点坐标以及准线方程，进而作出图形.
【详解】（1）的焦点坐标为，准线方程为，
如图：

（2）即，它的焦点坐标为，准线方程为，
如图：

（3）的焦点坐标为，准线方程为，
如图：

（4）即，它的焦点坐标为，准线方程为，
如图：

19．(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）由点在抛物线上得，可得准线方程为，由此能求出点到其准线的距离；（2）设直线的方程为，联立，得，由已知条件推导出，根据斜率公式，化简可消去参数，从而证明直线的斜率为定值.
【详解】（1）解：∵是抛物线上一定点
∴，
∵抛物线的准线方程为
∴点到其准线的距离为：.
（2）证明：由题知直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为：
联立
，∴
∵直线的斜率互为相反数
∴直线的方程为：，同理@可得：
∴
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设抛物线方程，代入，求出，即得抛物线的方程.
（2）设切线方程，直线与抛物线联立，消元，即可.
（3）根据反射关系，求出点关于点抛物线的切线的对称点，然后得到反射光线所在的直线方程.
【详解】（1）由抛物线过点得，
解得，
所以，所求抛物线的方程为.
（2）由题可设切线方程为，
联立，消去并整理得：，
令，解得，
所以，所求切线方程为.
（3）由题点发出的入射光线所在的直线与反射光线所在的直线关于点处的切线对称，
设点关于点处的切线的对称点为，
则由的中点在上及得：，
解得，即，
所以，所求反射光线所在的直线方程为.

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