新疆维吾尔自治区喀什地区2023-2024学年高三上学期第一次模考数学试卷（含解析）

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新疆维吾尔自治区喀什地区2023-2024学年第一学期
高三数学模考试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：集合、函数、导函数、数列、平面向量、复数、立体几何
5．考试结束后，只收答题卡，本试卷不收。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，40分。在每小题给出的四个选项中，第只有一项符合题目要求)
1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|﹣2＜x≤4}，则A∪B＝（　　）
A．{x|﹣3＜x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|1＜x＜4} D．{x|﹣3＜x≤4}
2．已知集合A＝{x|x2﹣8x＜0}，B＝{x|x＝3k﹣1，k∈N}，则A B＝（　　）
A．{﹣1，2，5，8} B．{﹣1，2，5} C．{2，5，8} D．{2，5}
3．下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac＞bc
B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
D．若a＞b，则a2＞b2
4．某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，若每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（　　）
A．（10，20） B．[15，20） C．（18，20） D．[15，25）
5．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”．例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[﹣2，﹣1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（　　）
A． B．y＝x3 C．y＝log2x D．y＝|x﹣1|
6．函数的定义域为（　　）
A．（﹣∞，3] B．（1，+∞）
C．（1，3] D．（﹣∞，1）∪[3，+∞）
7．已知点A（2，1），B（3，2），则直线AB的倾斜角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．135°
8．已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2＝0和y轴上各找一点P和Q，则△MPQ的周长的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．
二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分，每道题有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分。）
9．命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是假命题，则m不可能的取值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且abc＝1，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．a2＞b2 D．（a2b﹣1）（ab2﹣1）＞0
11．若函数y＝（m2﹣m﹣1）x3是幂函数，则实数m的值可能是（　　）
A．m＝﹣2 B．m＝2 C．m＝﹣1 D．m＝1
12．已知复数满足，则（　　）
A．z的虚部为﹣1
B．|z|＝2
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．若复数z满足|z1﹣z|＝1，则
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知a＞0，b＞0，则的最小值为 　 　．
14．已知集合M＝{（x，y）|x＝0}，N＝{（x，y）|y＝x+2}，则M∩N＝　 　．
15．函数的定义域为 　 　．
16．过点A（m，3），B（﹣1，m）两点的直线与直线l垂直，直线l的倾斜角为135°，则m＝　 　．
四、解答题：（本题共6小题，共70分。其中17题10分，其余每题均12分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。）
17．（Ⅰ）求方程组的解集；
（Ⅱ）求不等式2x2﹣3|x|+1＜0的解集．
18．（1）已知﹣1＜x＜4，2＜y＜3，求x﹣y的取值范围；
（2）比较（x﹣1）（x2+x+1）与（x+1）（x2﹣x+1）的大小，其中x∈R．
19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S7﹣S4＝33．
（1）求{an}的通项公式；
（2）判断与2的大小关系并证明你的结论．
，求该数列的前n项和．
21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且λ，．
（1）求实数λ的值；
（2）若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，求的最小值．
22．已知复数z＝m2+m﹣2+（m﹣1）i（m∈R），其中i为虚数单位．
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若m＝2，设a+bi（a，b∈R），试求a+b的值．
新疆维吾尔自治区喀什地区2023-2024学年第一学期
高三数学模考试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|﹣2＜x≤4}，则A∪B＝（　　）
A．{x|﹣3＜x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|1＜x＜4} D．{x|﹣3＜x≤4}
【分析】利用并集概念进行求解．
【解答】解：A∪B＝{x|﹣3＜x＜1}∪{x|﹣2＜x≤4}＝{x|﹣3＜x≤4}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．
2．已知集合A＝{x|x2﹣8x＜0}，B＝{x|x＝3k﹣1，k∈N}，则A B＝（　　）
A．{﹣1，2，5，8} B．{﹣1，2，5} C．{2，5，8} D．{2，5}
【分析】解一元二次不等式求集合A，结合集合B的描述求交集．
【解答】解：由题设A＝{x|0＜x＜8}，而，k∈N，则k∈{1，2}，
所以B＝{2，5}，所以A B＝{2，5}．
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
3．下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac＞bc
B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
D．若a＞b，则a2＞b2
【分析】A．当c≤时，不能由a＞b推出ac＞bc；
B．根据同向不等式的可加性质可判断；
C．取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，可得ac＝bd；
D．0＞a＞b，可得a2＜b2，
【解答】解：由a＞b，c＝0，可得ac＝bc，故A错；
由a＞b，c＞d，可得a+c＞b+d，故B对．
由a＞b，c＞d，取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，可得ac＝bd，故C错；
由0＞a＞b，可得a2＜b2，故D错；
故选：B．
【点评】本题考查不等式的性质和应用，考查举反例法，考查判断能力和推理能力，属于基础题．
4．某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，若每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（　　）
A．（10，20） B．[15，20） C．（18，20） D．[15，25）
【分析】由题意可知，x[45﹣3（x﹣15）]＞600，解出x的值，再结合每盏最低售价为15元，即可求解．
【解答】解：由题意可知，x[45﹣3（x﹣15）]＞600，
则﹣3x2+90x﹣600＞0，解得10＜x＜20，
又∵每盏最低售价为15元，
∴15≤x＜20．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于基础题．
5．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”．例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[﹣2，﹣1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（　　）
A． B．y＝x3 C．y＝log2x D．y＝|x﹣1|
【分析】由题意得到函数不单调才能符合要求，ABC错误，D中y＝|x﹣1|不单调，且可举出实例．
【解答】解：要想能够被用来构造“同值函数”，则要函数不单调，
ABC选项，在R上单调递减，y＝x3在R上单调递增，
y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，ABC错误；
D选项，y＝|x﹣1|在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
不妨设y＝|x﹣1|，x∈[1，2]与函数y＝|x﹣1|，x∈[0，1]，两者的值域相同，为同值函数，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值域的求解，属于基础题．
6．函数的定义域为（　　）
A．（﹣∞，3] B．（1，+∞）
C．（1，3] D．（﹣∞，1）∪[3，+∞）
【分析】由函数形式得到不等式组，解出即可．
【解答】解：由题意得，解得1＜x≤3，则定义域为（1，3]．
故选：C．
【点评】本题主要考查定义域的求解，属于基础题．
7．已知点A（2，1），B（3，2），则直线AB的倾斜角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．135°
【分析】根据两点间斜率公式求解即可．
【解答】解：，
又因为0°≤α＜180°
所以α＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率，考查运算求解能力，属于基础题．
8．已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2＝0和y轴上各找一点P和Q，则△MPQ的周长的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．
【分析】本题实际是求点M关于l的对称点M1，点M关于y轴的对称点M2，根据对称关系求出答案即可．
【解答】解：如图示：
由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M2（5，1），
同样容易求得点M关于y轴的对称点M1（﹣3，5），
故|MQ|+|QP|+|PM|＝|M1M2|4．
故选：D．
【点评】本题考查直线关于直线对称的问题，三角形的几何性质，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是假命题，则m不可能的取值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据给定条件，结合必要不充分条件的定义求出m取值范围，对照各项可得答案．
【解答】解：由x≥2是x＞m的必要不充分条件，可知（m，+∞） [2，+∞），可得m≥2，
而命题“x≥2是x＞m的必要不充分条件”是假命题，所以m＜2，
因此，m不可能的取值是2，3，4，即BCD正确，A错误．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了集合的包含关系、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
（多选）10．已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且abc＝1，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．a2＞b2 D．（a2b﹣1）（ab2﹣1）＞0
【分析】利用不等式的基本性质，结合已知条件对各项依次加以分析，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据a，b，c满足a＞b＞c，且abc＝1，可知a＞0，且a、b、c均不等于0，
对于A，当b＜0时，不等式显然成立，
当b＞0时，a、c均为正数，由基本不等式可得，故A正确；
对于B，根据a＞b＞c，可得a﹣c＞b﹣c＞0，两边都除以（a﹣c）（b﹣c），得，故B正确；
对于C，取，此时a2＝b2，故C错误；
对于D，（a2b﹣1）（ab2﹣1）＝（a2b﹣abc）（ab2﹣abc）＝a2b2（a﹣c）（b﹣c），
结合a＞b＞c，且a、b、c均不等于0，得a2b2（a﹣c）（b﹣c）＞0，故（a2b﹣1）（ab2﹣1）＞0成立，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质、基本不等式及其应用等知识，考查运算能力，属于基础题．
（多选）11．若函数y＝（m2﹣m﹣1）x3是幂函数，则实数m的值可能是（　　）
A．m＝﹣2 B．m＝2 C．m＝﹣1 D．m＝1
【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义，即可求解．
【解答】解：y＝（m2﹣m﹣1）x3是幂函数，
则m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1．
故选：BC．
【点评】本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
（多选）12．已知复数满足，则（　　）
A．z的虚部为﹣1
B．|z|＝2
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．若复数z满足|z1﹣z|＝1，则
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，对z化简，即可依次判断．
【解答】解：，
则1，即z，
z的虚部为﹣1，故A正确；
，故B错误，
z在复平面内对应的点（﹣1，﹣1）在第三象限，故C错误；
复数z满足|z1﹣z|＝1，
则|z|﹣|z1﹣z|≤|z1|＝|z1﹣z+z|≤|z1﹣z|+|z|，
故，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．已知a＞0，b＞0，则的最小值为 　4　．
【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解．
【解答】解：由a＞0，b＞0，可得，
当且仅当时，即a＝1，b＝1时，等号成立，
所以的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查利用基本不等式求和的最小值，属于基础题．
14．已知集合M＝{（x，y）|x＝0}，N＝{（x，y）|y＝x+2}，则M∩N＝　{（0，2）}　．
【分析】根据集合的交集运算即可．
【解答】解：由题意可得，解方程可得x＝0，y＝2，
故M N＝{（0，2）}．
故答案为：{（0，2）}．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
15．函数的定义域为 　[1，3]　．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，联立不等式组求解．
【解答】解：由，解得，即1≤x≤3，
∴原函数的定义域为[1，3]．
故答案为：[1，3]．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
16．过点A（m，3），B（﹣1，m）两点的直线与直线l垂直，直线l的倾斜角为135°，则m＝　1　．
【分析】由题意可知直线l的斜率﹣1，所以直线AB的斜率为1，由过两点的斜率公式求解即可．
【解答】解：由题意可知直线l的斜率k＝tan135°＝﹣1，
又因为直线AB与l垂直，
所以直线AB的斜率kAB＝1，
而A（m，3），B（﹣1，m），
所以，
即，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查两条直线垂直的性质的应用，属于基础题．
四．解答题（共6小题）
17．（Ⅰ）求方程组的解集；
（Ⅱ）求不等式2x2﹣3|x|+1＜0的解集．
【分析】（1）根据题意，两式相减可得x＝3﹣2y，将其代入x2+y2＝2中，求出y的值，进而计算可得答案；
（2）根据题意，不等式变形为2|x|2﹣3|x|+1＜0，求出|x|的范围，分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，，
①﹣②可得：2x+4y﹣6＝0，变形可得x＝3﹣2y③，
将③代入①可得：（3﹣2y）2+y2＝2，
解可得：y1＝1或y2，
又由x＝3﹣2y，当y1＝1时，x1＝1，
当y2时，x2，
即方程组的解为{（1，1），（，）}；
（2）根据题意，不等式2x2﹣3|x|+1＜0，即2|x|2﹣3|x|+1＜0，
变形可得：|x|＜1，
解可得：x＜1或﹣1＜x，
即不等式的解集为（﹣1，）∪（，1）．
【点评】本题考查其他不等式的解法，涉及二元二次方程组的解法，属于基础题．
18．（1）已知﹣1＜x＜4，2＜y＜3，求x﹣y的取值范围；
（2）比较（x﹣1）（x2+x+1）与（x+1）（x2﹣x+1）的大小，其中x∈R．
【分析】根据不等式的基本性质，逐个运算，即可求解．
【解答】解：（1）由不等式2＜y＜3，可得﹣3＜﹣y＜﹣2，
因为﹣1＜x＜4，所以﹣4＜x﹣y＜2，即x﹣y的取值范围为（﹣4，2）．
（2）由（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1，
因为x3﹣1﹣（x3+1）＝﹣2＜0，所以x3﹣1＜x3+1，
故（x﹣1）（x2+x+1）＜（x+1）（x2﹣x+1）．
【点评】本题主要考查不等式比较大小，属于基础题．
19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S7﹣S4＝33．
（1）求{an}的通项公式；
（2）判断与2的大小关系并证明你的结论．
【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解；
（2）根据已知条件，分n＝1，n≥2两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由S7﹣S4＝a5+a6+a7＝3，解得a6＝33，解得a6＝11．
又a1＝1，
故a6＝a1+5d，解得d＝2，
所以an＝2n﹣1．
（2），
证明如下：
由（1）可求得，
当n＝1时，；
当n≥2时，，
所以．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
20．，求该数列的前n项和．
【分析】采用分组求和法，结合等差、等比数列的前n项和公式，即可得解．
【解答】解：该数列的前n项和为a1+a2+a3+…+an＝（3+21）+（5+22）+（7+23）+…+（2n+1+2n）
＝（3+5+7+…+2n+1）+（21+22+23+…+2n）
（n2+2n﹣2）+2n+1．
【点评】本题考查数列求和，熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且λ，．
（1）求实数λ的值；
（2）若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，求的最小值．
【分析】（1）根据和向量的数量积定义式计算λ；
（2）建立平面坐标系，设M（x，0），用x表示出，根据二次函数性质得出最小值．
【解答】解：（1）∵λ，∴AD∥BC，
∵∠B＝60°，∴∠DAB＝120°，
∴6λ 3 cos120°，
∴λ．
（2）过A作AO⊥BC，垂足为O，则OBAB，OC，AO，
以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示：
则D（1，），设M（x，0），N（x+1，0），x，
∴（x﹣1，），（x，），
∴x2﹣x（x）2，
∴当x时，取得最小值．
【点评】本题考查了平面向量的数量积计算，属于基础题．
22．已知复数z＝m2+m﹣2+（m﹣1）i（m∈R），其中i为虚数单位．
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若m＝2，设a+bi（a，b∈R），试求a+b的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
（2）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：（1）∵z是纯虚数，
∴，解得m＝﹣2．
（2）若m＝2，则z＝4+i，
故，
∴，b，
∴．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．

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