人教A版（2019）选择性必修第一册2.4圆的方程 同步练习（含解析）

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人教A版（2019）选择性必修第一册 2.4 圆的方程 同步练习
一、单选题
1．圆上一点到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A． B．6
C． D．
3．已知直线与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
7．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．“”是“为圆方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则方程能表示的不同圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．圆关于直线l：对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．当方程所表示的圆的面积最大时，直线的倾斜角为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
14．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点，探测器在处以的速度匀速直线飞向距月心的圆形轨道上的某一点，在点处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以的速度匀速直线飞至，这一过程最少用时_______________s.
15．由方程所确定的圆中，最大的面积是_________.
16．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________．
17．已知△的三个顶点分别是点A（4，0），，，则△的外接圆的方程为______．
三、解答题
18．直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
19．一圆经过点，且与直线相切于点，试求该圆的方程．
20．直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上.
（1）求边所在直线的方程；
（2）圆是三角形的外接圆，求圆的方程.
21．已知圆过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）将圆向上平移1个单位长度后得到圆，求圆的标准方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
求得圆的圆心和半径，由此求得圆上一点到原点的距离的最大值.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到原点的距离为，
所以圆上一点到原点的距离的最大值为.
故选：C
本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.
2．D
配方，由半径的最小值得参数值，然后求出圆心到原点距离，再加半径可得.
【详解】
根据题意，圆，
变形可得．
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时．
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．
故选：D．
3．D
由圆的平面几何性质可知，过圆心与垂直的直线即为所求，根据垂直关系求出AB中垂线斜率即可求解.
【详解】
因为直线AB：的斜率为，可知垂直平分线的斜率为，
又圆的圆心为，
所以弦AB的垂直平分线方程为，化简得，
故选：D
4．A
利用一般方程表示圆得的不等式求解
【详解】
由题，则解得
故选：A
本题考查圆的一般方程，是基础题
5．A
复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．表示圆上的点与点的距离，求出即可得出．
【详解】
复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．
表示圆上的点与点的距离．
．
的最大值是．
故选：A．
本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程表示的圆的半径为2，而不是．
6．C
设出圆的一般式，根据求出，然后将点带入圆的方程即可求得结果.
【详解】
设圆的方程为，
由题意得，解得，
所以，
又因为点在圆上，所以，即.
故选：C.
7．B
设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短
【详解】
由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，
当与这条直径垂直时所得弦长最短，
圆心为，，
则由两点间斜率公式可得，
所以与垂直的直线斜率为，
则由点斜式可得过点的直线方程为，
化简可得，
故选：B
8．A
根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项.
【详解】
方程表示圆需满足或，
所以“”是“为圆方程”的充分不必要条件，
故选：A.
本题考查圆的一般方程和充分条件与必要条件的判断，属于基础题.
9．C
讨论点M在x轴上与不在x轴上两种情况，若点M不在x轴上，构造点K(－2，0)，可以根据三角形的相似性得到，进而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根据三点共线求出答案.
【详解】
①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．
若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋；
若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋．
②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图，
连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，
所以．
因为∠MOK＝∠AOM，
所以△MOK∽△AOM，则，
所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．
因为B(1，1)，K(－2，0)，
所以(2|MA|＋|MB|)min
＝|BK|＝．
又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为．
故选：C
10．B
化简圆为，得到，解得，结合，即可求解.
【详解】
由圆的方程，
可化简得，可得，
即，解得，
又因为，所以或，
所以方程能表示的不同圆的个数为2个.
故选：B.
11．A
首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【详解】
解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，
所以对称圆的方程为；
故选：A
12．B
先配方得圆的标准方程，再根据圆半径最大值时取法得的值，最后求直线倾斜角.
【详解】
方程可化为，
设圆的半径为，则，
∴当时，取得最大值，从而圆的面积最大．
此时，直线方程为，斜率，倾斜角为，
故选：B
本题考查圆的标准方程、直线倾斜角、圆面积最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
13．或或或；
设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】
解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
14．
设，飞行过程所用时间，再令，则问题转化为求两条线段最小即可作答.
【详解】
设，飞行过程所用时间，令，即，
设点C(0，m)在圆形轨道内，取点P坐标(0，2000)，而，由得， ，
即，设动点，当时，即，
化简整理得，即满足的动点M的轨迹就是给定的圆形轨道，
所以距月心的圆形轨道上的任意点均有成立，如图，连PC，
于是有，当且仅当P为线段AC与圆形轨道交点时取“=”，
即有，
所以这一过程最少用时s.
故答案为：
15．
由方程求出圆半径的最大值后可得最大面积．
【详解】
圆的半径，
则，
所以当时，，所以.
故答案为：．
16．
设点，连接交于，可写出的坐标，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x, y的关系式，即顶点的轨迹方程.
【详解】
设点，如图连接交于，
由矩形可知为的中点，，
连接，在直角中，，则
即，整理得，
所以顶点的轨迹方程是
故答案为：
关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点，然后再利用图像的几何关系找到x, y的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.
17．
令外接圆圆心，而中点为、中点为，由求x、y，进而求半径，即可写出△的外接圆的方程.
【详解】
令△的外接圆圆心，又A（4，0），，
∴中点为，则，则，
中点为，则，则，
∴圆心，又外接圆的半径，
∴△的外接圆的方程为.
故答案为：.
18．（1）；（2）.
（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；
（2）设圆心的坐标为，根据已知条件可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.
【详解】
（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，即，
所以直线的方程为；
（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
19．.
设圆的圆心为C，，，由，得到直线CB的方程， 再求导线段AB的垂直平分线方程，联立求得圆心即可.
【详解】
设圆的圆心为C，，，则，
所以直线CB的方程为：，即，
又AB的中点为，且，
所以线段AB的垂直平分线方程为，即，
由，解得，
所以圆的圆心为，半径为，
所以圆的方程是，
故答案为：
20．（1）；（2）.
（1）计算出直线的斜率，利用可得出直线的斜率，然后利用点斜式可得出边所在直线的方程；
（2）求出点的坐标，计算出线段的中点坐标作为圆的圆心坐标，计算出作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.
【详解】
（1）直线的斜率为，
由题意可知，则直线的斜率为.
因此，边所在直线的方程为，即；
（2）直线的方程为，由于点在轴上，则点.
由于是以为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段的中点，
则，所以，圆的半径为.
因此，圆的标准方程为.
本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形外接圆的方程，一般利用圆的一般方程求解，也可以确定圆心坐标，利用标准方程求解，考查计算能力，属于中等题.
21．（1） ；（2） ．
（1）先求线段的垂直平分线，再联立直线求解即可；
（2）分析向上平移1个单位长度后的圆心和半径即可
【详解】
（1）因为直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为1．
又易知线段的中点坐标为，
所以直线的方程为，即．
因为圆心在直线上，所以圆心是直线与直线的交点．
由，解得．
所以圆心为，半径．
所以圆的标准方程是．
（2）由（1），知圆的圆心坐标为，
将点向上平移1个单位长度后得到点，
故圆的圆心坐标为，半径为，
故圆的标准方程为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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