四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末考试模拟数学试题（三）（含答案）

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成都市2023-2024学年高二上学期期末考试模拟数学试题（三）
一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分）
1．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
2．能够使得圆上恰好有两个点到直线的距离等于1的一个值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
3．若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（　　）
A． B．或
C． D．以上都不对
4．某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（　　）
A．这11个月甲企业月利润增长指数的平均数没超过
B．这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于
C．这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定
D．在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于的概率为
5．已知空间三点，，，则下列结论不正确的是（　　）
A． B．点在平面内
C． D．若，则的坐标为
6．已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图所示，在直三棱柱中，，且，，，点在棱上，且三棱锥的体积为4，则直线与平面所成角的正弦值等于（　　）
A． B． C． D．
8．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的右顶点．过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限），设，分别为，的内心，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（共4个小题，每个小题5分，共20分）
9．已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（　　）
A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件不是对立事件
C．事件发生的概率为 D．事件与事件是相互独立事件
10．在如图所示试验装置中，两个长方形框架与全等，，，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子，分别在长方形对角线与上移动，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．的长最小等于
C．当的长最小时，平面与平面所成夹角的余弦值为
D．
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（　　）
A．平分
B．
C．延长交直线于点，则，，三点共线
D．
12．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，圆：，点在椭圆上，点在圆上，则下列说法正确的有（　　）
A．若粗圆和圆没有交点，则椭圆的离心率的取值范围是
B．若，则的最大值为4
C．若存在点使得，则
D．若存在点使得，则
三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）
13．若直线与直线平行，则这两条平行线之间的距离是__________．
14．曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为__________．
15．数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：
甲同学：中位数为3，方差为2.8；
乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；
丙同学：中位数为3，众数为3；
丁同学：平均数为3，中位数为2．
根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是__________同学．
16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为__________．
四、解答题（共7个题，17题10分，18题—22题每题12分，共70分）
17．在平面直角坐标系中，存在四点，，，．
（1）求过，，三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系；
（2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程．
18．我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
组别 分组 频数 频率
第1组 8 0.16
第2组 ■
第3组 20 0.40
第4组 ■ 0.08
第5组 2
合计 ■ ■
（1）求出，，，的值；
（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．
19．已知抛物线：的焦点为，点在上，且．
（1）求点的坐标及的方程；
（2）设动直线与相交于，两点，且直线与的斜率互为倒数，试问直线是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．
20．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，点为棱的中点．．
（1）证明：平面．
（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
21．已知为坐标原点，，，点满足，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，求的取值范围．
22．如图，已知椭圆：与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点作两直线与椭圆相交于相异的两点，，直线、的倾斜角互补，直线与，轴正半轴相交，分别记交点为，．
（1）求直线的斜率；
（2）若直线与双曲线的左，右两支分别交于，，求的取值范围．
参考答案
一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分）
1．D 2．C 3．B 4．C
5．D 6．D 7．C 8．B
8．解：设，，上的切点分别为、、，
则，，．
由，得，
∴，即．
设内心的横坐标为，由轴得点的横坐标也为，则，
得，则为直线与轴的交点，即与重合．同理可得的内心在直线上，设直线的领斜角为，则，，，当时，；
当时，由题知，，，，因为，两点在双曲线的右支上，
∴，且，所以或，
∴且，∴，
综上所述，．故选：B．
二、多选题（共4个小题，每个小题5分，共20分）
9．ABC 10．ABC 11．ACD 12．ACD
12．由椭圆中，圆中圆心，半径为1，如下图示，
A：由于，由图知：当时椭圆和圆没有交点，
此时离心率，对；
B：当时，令，则，而，
所以，又，故，
所以的最大值为，错；
C：由，若，则，，
由，，令，且，
则，即，
所以，则，且，故，对；
D：令，若，所以，
则，所以，
轨迹是圆心为，半径为的圆，
而与的距离为，要使点存在，
则，可得，且，即，对；
三、填空题
13． 14． 15．乙 16．
16．设，，则．显然当靠近右顶点时，，
所以存在点使等价于，，
在中由余弦定理得，
即，解得，
同理可得，所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立．
由得，所以．故答案为：
四、解答题
17．（1）设圆方程为，
把，，三点坐标代入可得：解得，，，
所以圆方程是，把点坐标代入可得：，故在圆内；
（2）由（1）可知圆：，则圆心，半径，
由题意可知圆心到直线的距离是3，
当直线斜率存在时，设直线方程为：，
所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线的方程为；
当直线斜率不存在时，则直线方程为：，此时圆心到直线的距离是3，符合题意．
综上所述，直线的方程为或．
18．（1）由题意可知，样本容量，∴，
第四组的频数，∴．
，．∴，，，．
（2）由题意可知，第4组共有4人，记为，，，，第5组共有2人，记为，．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，
有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况．
设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件，
有，，，，，，，，共9种情况．
所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是．
∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率．
（3）∵的频率为：，
的频率为0.4，∴中位数为：，
平均数为：．
方差为：
．
19．（1）抛物线：的准线：，于是得，解得，
而点在上，即，解得，又，则，所以的坐标为，的方程为．
（2）设，，直线的方程为，
由消去并整理得：，则，，，
因此，，
化简得，即，代入方程得，即，则直线过定点，所以直线．过定点．
20．解：（1）证明：在上找中点，连接，，图象如下：
∵和分别为和的中点，∴，且，
又∵底面是直角梯形，
∴，且，
∴且．即四边形为平行四边形．
∴．
∵平面，平面，
∴平面．
（2）以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，，，，．
由为棱上一点，设，
所以，
由，得，
解得，即，，
设平面的法向量为，由可得
所以，令，则，则，
取平面的法向量为，则二面角的平面角满足：
，故二面角的余弦值为．
21．（1）由，曲线是以，为焦点的双曲线的右支，且，，则，故曲线的方程为．
（2）设直线为：，，，
联立，得，
由题意：，由韦达定理得，
由，
则，解得，
由，
则，即，解得
综上可得：．∵
，
令，故，又在单减，
故的取值范围为．
22．（1）由题椭圆：，顶点，可得，又因为点在椭圆上，即，得，所以椭圆方程为，设等轴双曲线：，，
由题意等轴双曲线的顶点为，可得，所以双曲线的方程为：，
因为直线、的倾斜角互补，且，是不同的点，所以直线、都必须有斜率，设直线方程为，联立，整理得，
和点横坐标即为方程两个根，可得
，因为，所以，代入直线可得，
即，又因为直线、的倾斜角互补，将换成，可得，
两点求斜率可得出所以直线的斜率为
（2）由（1）可设直线的方程：，又因为直线与，轴正半轴相交，则，联立方程组，整理得，，解得．
联立直线和双曲线方程，消去得，
利用求根公式可得，
所以，
又因为，所以，则，即，
所以，所以的取值范围为

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