人教A版（2019）选择性必修第一册3.2双曲线 同步练习（含解析）
2023-10-23 12:31:21 学考宝 作者：佚名
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人教A版（2019）选择性必修第一册 3.2双曲线 同步练习
一、单选题
1．已知，是双曲线的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（ ）
A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0
A． B． C． D．
6．已知、为双曲线的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
7．已知双曲线的离心率是，则（ ）
A． B． C． D．
8．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则的面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
11．过双曲线的右支上的一点分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则______．
14．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．
15．已知，若圆经过双曲线的焦点，则______．
16．给出问题：分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离等于9，求点到焦点的距离.某学生的解答如下：
由，即，得或.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确答案填在横线上.
17．若动圆与两定圆及都外切，则动圆圆心的轨迹方程是___________.
三、解答题
18．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且D的离心率为.
（1）求C与D的方程；
（2）若，直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在.
①求m的取值范围.
②试问这直线PA，PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点的直线1交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.
20．双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
21．已知双曲线过点，焦距为，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B首先根据直线平行，可设直线的方程，通过联立得点，的横坐标，求出的表达式，从而可解不等式组得到的取值范围.
【详解】由题意可知，，不妨记，，
由且经过的右焦点可得的方程为，
与的方程联立可解得，
与的方程联立得，
所以，
解得，.
故选：B.
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
2．C求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得，得渐近线方程．
【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中，
渐近线方程为，其中一条为，
于是有，，∴，
∴渐近线方程为．
故选：C．
关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出．解题时要注意椭圆中，双曲线中．两者不能混淆．
3．A设，．根据双曲线的定义和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，从而可得的周长.
【详解】由双曲线可得．
设，．则，，
所以，．
因为是等腰三角形，且，
所以，即，所以，
所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，解得，
的周长
．
故选：A．
关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.
4．C根据双曲线的标准方程，即可得出结论.
【详解】双曲线可化为，
因为双曲线的焦点在轴上，所以，即．
故选：C.
5．D由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
6．A设，则，将、用表示，即可求得该双曲线的离心率.
【详解】由题意知，
在中，，可设，则，
由勾股定理可得，
又由得，所以，.
故选：A.
7．D直接利用离心率公式计算得到答案.
【详解】因为双曲线的离心率是，
所以，解得（舍去）.
故选：D.
8．D根据题设条件和双曲线的性质，在三角形值寻找等量关系，得到之间的等量关系，进而求出离心率.
【详解】依题意，可知三角形是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知，
根据双曲定义可知，整理得，
代入整理得，求得；
∴．
故选：D．
关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率问题，正确解题的关键是熟练掌握双曲线的性质，以及寻找判断三角形中边的关系.
9．A由题知顶点坐标为,渐近线方程为:,进而利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解:由题知双曲线中,,焦点在轴上,
所以顶点坐标为,渐近线方程为:,
由双曲线的对称性,不妨求顶点到渐近线的距离
所以双曲线的顶点到渐近线的距离为
故选：A
10．A根据是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点得到点A的坐标，再根据D是线段OF的中点，得到D点的坐标，继而可以得到直线AD的方程，又由于点B是圆上的点，点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即得解.
【详解】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，
因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，
则
直线AD的方程为，
点B是圆上的一点，
点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即，
则
故选：A
11．A求得两圆的圆心和半径，则双曲线的左右焦点为，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【详解】设、是双曲线的左、右焦点，也是、的圆心，
∴
，
显然其最小值为，.
故选：A.
12．A求出椭圆和双曲线的半焦距即得解.
【详解】由题得椭圆的半焦距为，
双曲线的半焦距为，
所以.
故选：A
13．根据双曲线方程特点，利用实虚轴的数量关系列方程求参数m即可.
【详解】由题设，，可得.
故答案为：
14．由已知双曲线可得焦点坐标，设所求双曲线方程为，，根据、求得和的值即可求解.
【详解】由双曲线可得焦点坐标为，
设所求双曲线的方程为，，
由题意可得：，解得，
所以双曲线的标准方程为：，
故答案为：.
15．求双曲线的焦点，代入圆的方程，即可求得的值.
【详解】双曲线的焦点坐标是，代入圆的方程，
得，，，
解得：.
故答案为：
16．学生的解答不正确，.根据双曲线的定义，得到，根据题意，判定点只能在双曲线的左支上，进而可得出结果.
【详解】学生的解答不正确，.
理由如下：
由双曲线的定义知，，即.
正负号的取舍取决于点的位置是在双曲线的左支上还是右支上.
因为点到左焦点的距离为，所以点只能在双曲线的左支上.
所以.
故答案为：学生的解答不正确，.
本题主要考查双曲线的定义，属于基础题型.
17．求出两个圆的圆心和半径，设动圆圆心为的半径为，，结合双曲线的定义即可求解.
【详解】设圆为可得圆心，半径，
设圆为可得圆心，半径，且，
设动圆圆心为，半径为，因为动圆同时与圆外切和圆外切，
所以，，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
所以，，，
所以动圆的圆心的轨迹方程为：.
故答案为：.
18．（1）C：；D：；（2）①且；
②见解析.（1）根据D的离心率为，求出从而求出双曲线的焦点，再由椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，即可求出，即可求出C与D的方程；
（2）①根据题意容易得出，然后联立方程，消元，利用即可求出m的取值范围；
②设，由①得：，计算出，判断其是否为定值即可.
【详解】解：（1）因为D的离心率为，即，
解得：，
所以D的方程为：；焦点坐标为，
又因椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，
所以，所以，
所以C的方程为：；
（2）①如图：
因为直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在，
所以，
联立，消化简得：，
所以，解得，
所以且；
②设，
由①得：，
，
所以，
故直线PA，PB的斜率之积不是是定值.
本题考查了求椭圆与双曲线的方程、直线与椭圆的位置关系及椭圆中跟定直有关的问题，难度较大.
19．（1）；（2）.（1）利用，再代入，联立即得解；
（2）设l的方程为：，，，用坐标表示斜率，将直线与双曲线联立,化简代入韦达定理，即得解
【详解】（1）由已知可得，
∴，解得①
又∵点在E上，
∴②
由① ②可得，.
∴双曲线E的方程为.
（2）过点的直线l斜率显然存在，
设l的方程为：，，，
将l的方程代入双曲线E的方程并整理得，
依题意，且，
所以且，
因此，可得，.
∴
.
20．(1)2；
(2)证明见解析.
（1）运用代入法，结合双曲线的离心率公式进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式，结合二倍角的正切公式进行证明即可.
（1）
设双曲线的离心率为e，焦距为2c，，
在中令x＝c，则，解得，若|AF|＝|BF|，则，
所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，解得e＝2或（舍去），所以e＝2；
（2）
因为e＝2，所以，
所以，，设B（x，y）（x＞0，y＞0），
kAB＝，kBF＝，设∠BAF＝θ，则tan θ＝，
tan2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，所以∠BFA＝2∠BAF.
关键点睛：利用二倍角的正切公式是解题的关键.
21．(1).
(2)存在，直线为或.
（1）根据焦距、双曲线上的点求双曲线参数，进而写出双曲线C的方程；
（2）由题设有，设直线为，，并联立双曲线方程，应用韦达定理、中点坐标公式求M，N的中点坐标，由等腰三角形中垂线性质求参数k，进而可得直线l的方程.
（1）
由题设，，又在双曲线上，
∴，可得，
∴双曲线C的方程为.
（2）
由（1）知：，
直线的斜率一定存在，当直线斜率为0时，直线：，符合题意；
设直线为，，
联立双曲线方程可得：，
由题设，
∴，，则.
要使△构成以为顶角的等腰三角形，则，
∴的中点坐标为，
∴，可得或，
当时，，不合题意，所以，直线l：，
∴存在直线为或，使△构成以为顶角的等腰三角形.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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