空间几何体 专练——2024届高考数学通用版一轮复习（含解析）

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空间几何体 专练
一、选择题
1.朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何？”大意为现有一个直径为10的球，从上面截一小部分，截面圆周长为8.4，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为( )(注：)
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
2.如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长度为，则该圆柱的侧面积为( )
A. B. C. D.
3.如图所示的正方形的边长为2 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为( )
A. B. C. D.
4.下图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.已知球O是正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点E在线段BD上，且.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是( )
A. B. C. D.
6.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. B. C. D.
7.如右图所示，网格纸上用粗实线绘制了一个几何体的三视图，每一个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
8.中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂.1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为( )
A. B. C. D.6
9.在三棱锥中，底面ABC，，，，若三棱锥外接球的表面积为，则( )
A.1 B. C. D.
10.一个圆锥的轴载面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱的侧面积取得最大值时，该圆柱的高为( ).
A.1 B.2 C.3 D.
11.“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台.在综合实践活动中，某小组在超市中测量出一“方斗”的上底面内侧边长为，下底面内侧边长为，侧棱长为.将“方斗”内的大米铺平(即与下底面平行)，测得铺平后的大米所在的四边形边长为.已知大米的体积约为，则方斗内剩余的大米质量约为( )(参考数据：，，结果保留整数)
A. B. C. D.
12.已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________.
14.已知正三棱锥的高，且顶点都在球O的球面上，球O的体积为，则该三棱锥的表面积为_______.
15.在梯形ABCD中，，，M为AC的中点，将沿直线AC翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.
16.已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则___________；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为_________________.
三、解答题
17.如图，在三棱锥中，底面ABC，点D，E，F，N分别为棱PA，PC，AB，BC的中点，M是线段AD的中点，，.
（1）求证：平面MNF；
（2）求三棱锥的体积.
18.如图在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
19.如图，在正三棱柱中，边BC的中点为.
(1)求三棱锥的体积.
(2)点E在线段上，且平面，求的值.
20.如图，在四棱锥中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，.
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）若，求四棱锥的体积.
答案
1.答案：A
解析：设截面圆半径为r，截下来的几何体高为h，
若以3作为圆周率，则，
又，故，
故选：A.
2.答案：A
解析：沿AD将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A，C两点间的距离，连接AC，则，展开后AB的长度为.设圆柱的高为h，则，即，得，所以圆柱的侧面积为.
3.答案：C
解析：由于原几何图形的面积:直观图的面积，
又正方形的边长为，
正方形的面积为，
原图形的面积.
故选C.
4.答案：A
解析：由三视图知：几何体为底面半径为1，高为3的圆锥体，所以其侧面展开为以底面周长为弧长，圆锥体母线长为半径的扇形，故几何体的侧面积为，故选：A
5.答案：A
解析：如图，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径，
由勾股定理得棱锥的高，
设球O的半径为R，则，
解得，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，所以在中，，
当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时半径为，截面面积为.故选：A.
6.答案：D
解析：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为，则
由题意可知，，因此有，即，解得，因为，所以.
所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.故选：D.
7.答案：B
解析：由三视图知，该几何体是由一个棱长为4的正方体截去两个相同三棱柱与两个相同圆柱而得到的，其中三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形，圆柱的底面半径为2，所以该几何体的体积为.故选:B.
8.答案：A
解析：由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，则该球半径，如图：
可知E为外接球球心，，平面，D为底面等边的中心，设正四面体的棱长为d，则，，在中，则，即，解得，即.故选：A.
9.答案：C
解析：
因为平面ABC，平面ABC，所以，
由，，CA，面PAC，所以面PAC，
由面ABC，则，由面PAC，则，
PB是和的公共斜边，则PB是三棱锥的外接球直径，
由，
设，则，则，，
故选：C.
10.答案：D
解析：由题意可得，，
故圆锥的高，，
设圆柱的高为h，底面半径为r，则，故，
所以.
所以圆柱侧面积
，
当且仅当，即时，S取得最大值，最大值为.故选D.
11.答案：B
解析：如图，平面为大米铺平后所在的平面.连接，，.分别取，的中心O，(它们分别在，上)，连接，则与平面的交点必在上且为的中心.在正四棱台的对角面中，，，，，易得，分别为，的三等分点，，，所以.又因为大米的体积约为，所以方斗内剩余的大米质量约为.故选B.
12.答案：A
解析：在三棱锥中，如图，，则，同理，
而，，平面，因此平面，
在等腰中，，，则，，
令的外接圆圆心为，则平面，，
有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，
从而，四边形为平行四边形，，又，
因此球O的半径，
所以球O的表面积.
故选：A.
13.答案：
解析：由三视图可知该几何体由圆柱的一半与圆锥的一半组合而成，圆柱、圆锥的底面半径均为1，高均为2，故该几何体的表面积为.
14.答案：
解析：设球O的半径为R，所以，解得.设正三棱锥的高为，则，所以在中，，所以，，所以该三棱锥的表面积.
15.答案：
解析：
由题得，因为，，，
因为，，所以M是外接圆的圆心，外接圆的半径为，
当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，所以此时到底面ABC的高最大，
即此时平面平面ABC，即平面ABC，
如图，设球心为O，在平面内作，垂足为M，因为，所以，所以平面ABC，
所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得最小截面就是过的外接圆，所以截面面积的最小值为.
16.答案：；
解析：如图，设D为AB的中点，连接PD，由题意知PD为圆锥的高，且，易知球O的半径，所以，，所以；设MN的中点为C，连接PC，DM，则，易知，，所以，所以.过O点作，垂足为E，易知，则，又，则.设平面PMN截球O所得截面圆的半径为r，则，所以截面的面积为.
17.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）
D，E分别是PA，PC中点，，
同理，，
又平面MNF，平面MNF，平面MNF；
（2）底面ABC，平面ABC，
，，，PA，平面PAB，
平面PAB，
F，N分别为AB，BC中点，，
平面PAB，点N到平面PAB的距离为，
，
即三棱锥的体积为.
18.答案： （1）见解析
（2）3
解析： （1）连接，设与相交于点，连接OD，
∵四边形是平行四边形，∴点O为的中点.
是的中点，∴是的中位线，∴
平面平面
平面
(2)平面平面，
∴平面平面且平面平面
作，垂足为E，则平面在中，，
∴四棱柱的体积
∴四棱锥的体积
19.答案：(1)
(2)
解析：(1)因为为正三棱柱，
所以平面ABC，所以三棱锥的体积.
(2)连接交于F，连接EC交于G，连接FG，
因为平面平面，
平面平面，
所以，
因为为正三棱柱，
所以侧面和侧面为平行四边形，
从而有F为的中点，
于是G为EC的中点，所以，
因为D为边BC的中点，所以E为边的中点，
所以.
20.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）
连接DB交AC于点O，连接PO，
因为ABCD是菱形，所以，且O为BD的中点，
因为，所以，
又因为AC，平面APC，且，AC，平面APC，
所以平面APC，
又平面ABCD，所以平面平面ABCD；
（2）解法一：由（1）可知，平面平面ABCD，
又平面平面，，平面ABCD，所以平面APC，
所以，由已知可得，，
又，且O为BD的中点.所以，，
又，，所以，
所以，，
所以.
解法二：由已知可得：为正三角形，且，，
又，且O为BD的中点，
所以，，又，，所以，
从而，，
所以三棱锥是为棱长为2的正四面体，而它所对应的正方体的棱长为，所以.
解法三：取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH.
因为，所以是等边三角形，所以，
又因为，，PD，平面PDM，
所以平面PDM，平面PDM，所以，
由知，且，AB，平面ABCD，所以平面ABCD.
由ABCD是边长为的菱形，
在中，，，
由，在中，，
所以.
所以四棱锥的体积为.

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