行列式和矩阵的区别 二者有何不同
2024-10-13 19:26:47 学考宝 作者：佚名
行列式和矩阵的主要区别在于：矩阵是一个数表，而行列式是一个数。矩阵是由一批数据构成的表格，而行列式是一个计算值，表示矩阵所表示的线性变换对几何图形的面积或体积的变化率。
行列式和矩阵的区别是什么
一、定义上的区别
行列式：
是一个函数，定义域为方阵，取值为标量，写作det(A)或|A|。由矩阵元素通过特定规则运算得到。
有多种定义方式，如递归、代数余子式和几何定义等。几何定义表示矩阵列向量张成的平行多面体的体积。
矩阵：
是一个按长方阵列排列的复数或实数集合，元素可以是任意实数或复数，行数和列数可以不同。
最早由19世纪英国数学家凯利提出，作为解决线性方程的工具，广泛应用于高等代数和统计分析。
二、性质上的区别
行列式：
具有多种性质，如等于转置的行列式、交换两行或两列变号、一行或一列乘以k则行列式乘以k等。
值为0表示矩阵不可逆。具有乘法性质det(AB)=det(A)det(B)，仅适用于方阵。
矩阵：
运算包括加法、减法、数乘和乘法。加法和减法要求同型矩阵，数乘是数乘以每个元素，乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个的行数，结果为新矩阵，乘法不满足交换律。
三、运算上的区别
行列式：
运算主要是求解其值，可以通过展开法、递归法、代数余子式法等实现。结果是一个标量。
矩阵：
运算涉及矩阵与矩阵、矩阵与数之间的多种运算。结果仍为矩阵或标量（如行列式）。
矩阵与行列式有哪些关系
矩阵和行列式是线性代数中的两个重要概念，它们之间有以下几个主要关系：
1. 行列式是矩阵的一个特殊函数，只有方阵（行数和列数相等的矩阵）才有对应的行列式。
2. 行列式的值可以用来判断方阵是否可逆。如果方阵的行列式不为零，那么该方阵可逆，即存在逆矩阵；如果行列式为零，则方阵不可逆。
3. 方阵的逆矩阵与行列式有直接关系。方阵的逆矩阵的每一个元素都是原矩阵对应位置元素的代数余子式与行列式的比值。
4. 矩阵的行变换或列变换，如交换两行、将一行乘以一个非零常数、将一行加到另一行上等，都会影响行列式的值。具体来说，交换两行行列式变号，将一行乘以常数k，行列式也乘以k，将一行加到另一行上，行列式不变。
5. 矩阵的某些性质可以通过行列式来刻画。例如，矩阵的秩等于其最大非零子式的阶数，而最大非零子式的大小又与行列式有关。
6. 行列式的值可以看作是矩阵对应线性变换的“伸缩因子”。对于二维和三维空间中的线性变换，行列式的绝对值表示变换后体积的伸缩比例，行列式的符号表示变换是否包含空间翻转。
