一元三次方程因式分解方法 具体步骤是什么
2024-10-08 21:54:59 学考宝 作者：佚名
一元三次方程是形如 ax2+cx+d=0（其中a≠0）的方程。因式分解是指将一个多项式表示为若干个因数乘积的形式，对于一元三次方程，因式分解可以帮助求解方程的根，并理解方程的性质。
一元三次方程因式分解方法是什么
一、凑系数法
凑系数法是比较常用的因式分解方法，其基本思路是通过凑出一些特定的项，使得多项式可以被因式分解。
观察：观察多项式的系数，寻找一些可以凑出特定项的系数。
变形：将多项式进行变形，凑出特定的项。
分解：利用特定的因式分解公式进行因式分解。
例如，考虑方程x2+2x=0。可以将方程变形为x2+2x-1=-1，观察变形后的方程，可以凑出(x-1)2-1=(x-1+1)(x-1-1)=x(x-2)=0。因此，方程x2+2x=0的因式分解为x(x-2)=0。
二、降幂法
降幂法是将三次项化为二次项，然后再进行因式分解的方法。
转化：将三次项化为二次项。
分解：利用二次方程的因式分解公式进行因式分解。
例如，考虑方程x^3-4x^2+7x=0。可以将方程变形为x^3-4x^2+7x-4=-4，观察变形后的方程，可以将三次项化为二次项，即(x-2)^2-4=(x-2+2)(x-2-2)=x(x-4)=0。因此，方程x^3-4x^2+7x=0的因式分解为x(x-4)=0。
三、公式法
公式法是利用卡尔丹公式或其他公式直接求解方程的根，然后根据根与系数的关系进行因式分解的方法。
求解：利用卡尔丹公式或其他公式求解方程的根。
分解：根据根与系数的关系进行因式分解。
例如，考虑方程x2-9x-5=0。可以利用卡尔丹公式求解该方程，得到其根为x1=1、x2=-2、x3=-1。根据根与系数的关系，可以写出方程的因式分解为(x-1)(x+2)(x+1)=0。
四、特殊方法
对于一些特殊形式的方程，可以使用一些特殊的方法进行因式分解。
代数法：对于某些特殊形式的一元三次方程，可以尝试用代数方法进行因式分解。例如，如果方程可以表示为x^3-3x^2+3x-1=0，可以尝试将其重写为(x-1)^3=0，从而得出x=1是方程的实根。
韦达定理：对于形如x^3+px+q的方程，可以利用韦达定理进行因式分解。
分组分解法：通过在方程中“加项”、“减项”、“拆项”的方法，将一元三次多项式方程分解成两组多项式和的形式，然后对每一组进行因式分解，再提取公因式，最后整理为三个一次因式乘积、或者是两个因式(一个一次因式与一个两次因式)乘积。
整除法：对于一元三次多项式，找到公因式后整除公因式。一般先假设是(x-1)或者是(x+1)，这是因为对于一元三次多项式来说，一般会用到立方和公式，整除一个一次因式，或者整除一个两次因式。
需要注意，因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用。对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。
一元三次方程因式分解的例子
以下是一个一元三次方程因式分解的例子：
考虑方程x3−6x2+11x−6=0。
首先，我们尝试寻找这个方程的因式。为了找到因式，我们可以考虑方程的根。在这个例子中，我们可以通过观察和尝试来找到一些可能的根。
我们注意到，当x=1时，方程x3−6x2+11x−6的值为0。因此，x−1是方程的一个因式。
接下来，我们使用多项式除法（或者长除法）来将x3−6x2+11x−6除以x−1，得到商x2−5x+6。
因此，方程x3−6x2+11x−6=0可以因式分解为(x−1)(x2−5x+6)=0。
然后，我们注意到x2−5x+6是一个二次方程，它可以进一步因式分解为(x−2)(x−3)。
所以，方程x3−6x2+11x−6=0的最终因式分解为(x−1)(x−2)(x−3)=0。
由此，我们可以得出方程的解为x=1,x=2,x=3。
