2023-2024学年陕西省榆林市横山区八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

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2023-2024学年陕西省榆林市横山区八年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.二次根式中，的值不能是( )
A. B. C. D.
2.在实数、、、、中，无理数的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.下列各组数中，是勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5.有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为时，输出的值是( )
A. B. C. D.
6.有一个三角形两边长为和，要使三角形为直角三角形，则第三边长为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.如图，在数轴上表示实数的点可能是( )
A. B. C. D.
8.如图，是的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，其中个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9.的平方根是______ ．
10.如果是最简二次根式，则的值可能是______ 填一个正确的即可
11.比较大小：______填“”、“”或“”．
12.一个三角形的三边长的比为：：，且其周长为，则其面积为 ．
13.如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径一只蚂蚁从圆柱的表面点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为______ ．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14.本小题分
计算：．
15.本小题分
一个正数的两个平方根分别是与，求和正数的值．
16.本小题分
已知在中，，，求的长．
17.本小题分
已知，，求的值．
18.本小题分
已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值．
19.本小题分
已知一个正方体的体积是，现在要在它的个角上分别截去个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是，问截得的每个小正方体的棱长是多少？
20.本小题分
如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，若规定小汽车在该城市街路上的行驶速度不得超过，则这辆小汽车超速了吗？参考数据转换：
21.本小题分
已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根．
22.本小题分
一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
23.本小题分
在一次数学活动课中，小明同学用一根绳子围成一个长与宽之比为：，面积为的长方形．
求长方形的长和宽；
他用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于上述长方形的面积求围成的正方形的边长与长方形的宽之差．
24.本小题分
某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教室的黑板上面如图所示在某次数学活动中小明搬来一架梯子米靠在宣传牌处，底端落在地板处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌的处，而底端向外移动了米到处米已知，点，分别在线段，上，测量得米求宣传牌的高度．
25.本小题分
阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
化简；
已知的整数部分为，小数部分为，求的值．
26.本小题分
如图，在中，，，，若动点从点出发，沿着三角形的三边，先运动到点，再运动到点，最后运动回到点，，设点的运动时间为．
当为何值时，点恰好在的垂直平分线上？
当为何值时，点在上，且恰好在的角平分线上？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于二次根式，，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，是有理数，
这一组数中的无理数有：，．
故选：．
先将化为的形式，再根据无理数的概念进行解答即可．
本题考查的是无理数的概念，解答此题的关键是熟知是无理数，这是此题的易错点．
3.【答案】
【解析】解：、，不是勾股数，不符合题意；
B、，不是勾股数，不符合题意；
C、，不是勾股数，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，符合题意．
故选：．
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定则可．
本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：三个数都是正整数；两个较小数的平方和等于最大数的平方．
4.【答案】
【解析】解：、不是同类二次根式，所以不能合并，原计算错误，不符合题意，
B、，原计算错误，不符合题意，
C、，正确，符合题意，
D、，原计算错误，不符合题意，
故选：．
根据同类二次根式判断，，依据二次根式的乘法判断，依据二次根式的除法判断．
本题考查了二次根式的加减，二次根式的乘法与除法，掌握相关知识点是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：的算术平方根是，是有理数，
取的立方根为，是有理数，
再取的算术平方根为，是无理数，
则输出，
的值是．
故选：．
依据转换器流程，先求出的算术平方根是，是有理数；取立方根为，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出的值．
本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换．
6.【答案】
【解析】解：当边长和是直角边长时，则第三边的长是；
当边长是斜边长时，则第三边的长是．
故选D．
要使三角形为直角三角形，则该三角形其中两边的平方和等于第三边的平方．此题考虑两种情况：第三边是直角边或斜边．
此题要能够熟练运用勾股定理的逆定理，不要漏掉一种情况．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了实数与数轴，无理数的大小，确定出的范围是解题的关键．先判断出的范围，然后根据数轴判断即可．
【解答】
解：因为，
所以，
所以，
所以在数轴上表示实数的点可能是．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：是的高，
，
，
，
，
第四个正方形的面积为，
故选：．
根据垂直的定义得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
的平方根是，
故答案为：．
根据平方根的定义即可求解．
本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
10.【答案】答案不唯一
【解析】解：是最简二次根式，
当，即时，是最简二次根式，
故答案为：答案不唯一．
根据最简二次根式的概念解答即可．
本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了实数的大小比较，主要考查学生的比较能力．
求出，，再比较即可．
【解答】
解：因为，，
所以，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论．
【解答】
解：三角形的三边长的比为：：，
设三角形的三边长分别为，，．
其周长为，
，解得，
三角形的三边长分别是，，．
，
此三角形是直角三角形，
13.【答案】
【解析】解：圆柱体的侧面展开图如图所示，
底面圆周长为，
，
又，
在中，．
故答案为：．
先把圆柱体沿剪开，则的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在中，利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
14.【答案】解：原式
．
【解析】利用立方根的定义，绝对值的性质计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15.【答案】解：一个正数的两个平方根分别为和，
，
，
这个正数为．
．
【解析】根据平方根的定义可得一个正数的两个平方根互为相反数，则有，解方程得，即一个正数的两个平方根分别为和，利用平方根的定义即可得到这个正数．
本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于，那么这个数叫的平方根，记做．
16.【答案】解：，，，
．
故AB的长是．
【解析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．计算即可求解．
考查了勾股定理解直角三角形的能力，是基础题型，比较简单．
17.【答案】解：，，
，，
．
【解析】先求出和的值，然后代入式子中进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：由题意可知两个根式是同类二次根式，
，
，
．
【解析】根据同类二次根式的概念，列出关于的方程进行求解即可；
本题考查同类二次根式和最简二次根式，正确理解题列出算式是解题关键．
19.【答案】解：设截得的每个小正方体的棱长为，
依题意得
，
，
，
答：截得的每个小正方体的棱长是．
【解析】由于正方体的体积是，现在要在它的个角上分别截去个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是，设截得的每个小正方体的棱长为，根据已知条件可以列出方程，解方程即可求解．
此题主要考查了立方根的应用，其中求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的符号相同．
20.【答案】解：在中，，；
根据勾股定理可得：，
小汽车的速度为；
，
这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【解析】求小汽车是否超速，其实就是求的距离，直角三角形中，有斜边的长，有直角边的长，那么的长就很容易求得，根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．求小汽车是否超速，其实就是求的距离，直角三角形中，有斜边的长，有直角边的长，那么的长就很容易求得，根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长是解题关键．
21.【答案】解：的算术平方根为，
，
解得：，
的立方根为，
，
即，
解得：，
则，
那么的平方根是．
【解析】根据算术平方根及立方根的定义求得，的值，然后将期待如中计算后利用平方根的定义即可求得答案．
本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义，结合已知条件求得，的值是解题的关键．
22.【答案】解：，，，，，
，
．
、是直角三角形．
，．
故这个零件符合要求．
【解析】根据勾股定理的逆定理，判断出、的形状，从而判断这个零件是否符合要求．
本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断、的形状．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
23.【答案】解：设长方形的长为，宽为，
则，
即，
，
，
，
即长方形的长为，宽为；
设正方形的边长为，
则，
那么 ，
长方形的宽为，
正方形的边长与长方形的宽之差为．
【解析】设长方形的长为，宽为，解得的值后代入中计算即可；
设正方形的边长为，由题意列式计算即可．
本题考查算术平方根及二次根式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
24.【答案】解：由题意可得：米，米，米，
在中，
米，
则米，
在中，
米，
故AB米．
答：宣传牌的高度为米．
【解析】直接利用勾股定理得出，的长，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
25.【答案】解：
；
，
又，
，
的整数部分为，小数部分为，
则．
【解析】仿照题意进行分母有理化即可；
将进行分母有理化为，进而可得的整数部分为，小数部分为，代入即可求解．
本题考查了分母有理化及无理数的估值，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．
26.【答案】解：当点在上时，连接，
由勾股定理得，
点恰好在的垂直平分线上，
，
在中，
即，
解得，
当在上时，，
点运动的路程为，
，
或时，点恰好在的垂直平分线上；
过点作于，则，
在中，
，
由勾股定理得，
即，
解得，
时，点在上，且恰好在的角平分线上．
【解析】分点在上或在上，分别计算即可；
过点作于，利用角平分线的性质得，在中，由勾股定理列方程，从而解决问题．
本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
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