第六章幂函数、指数函数和对数函数测试卷（含解析）

2023-11-07 18:24:38 学考宝作者：佚名

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第六章幂函数、指数函数和对数函数测试卷
一、单选题
1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）
A． B．
C． D．
2．已知函数，当时，，若在上的最大值为2，则（）
A．2 B． C．3 D．4
3．若，，，则（）
A． B．
C． D．
4．已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（）
A． B． C． D．
5．已知指数函数在上单调递增，则的值为（）
A．3 B．2 C． D．
6．设则（）
A． B． C． D．
7．若函数的值域为，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．已知，则a，b，c的大小关系为（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则（）
A． B．
C． D．
10．若，则下列说法中正确的是（）
A． B．
C． D．
11．下列既是奇函数，又在上是增函数的是（）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则（）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称
C．函数的值域为 D．函数是减函数
三、填空题
13．已知函数满足，当时，函数，则．
14．已知函数是幂函数，且在上是增函数，则实数的值为．
15．函数的单调增区间是．
16．如果两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，则这两个函数为友好函数，那么与定义域为的函数为友好函数的个数是 .
四、解答题
17．一台价值万元的新机床，投入使用后，每年的折旧率是，年后这台机床的价值约为多少万元？（保留到小数点后第位）
18．函数是定义在上的偶函数，当时， .
(1)求函数的解析式；
(2)作出函数的图像，并写出函数的单调递增区间；
(3)求在区间上的值域.
19．化简下列各式：
（1）;
（2）
20．（1）求值：；
（2）已知，求的值.
21．设，求证：
22．已知幂函数的图象过点．
(1)求出此函数的解析式；
(2)判断函数的奇偶性，并给予证明．
参考答案
1．B
【分析】由对数的单调性以及中间值法可得,，即可比较大小.
【详解】因为,,,
故，
故选：B
2．D
【分析】先画出函数图像并判断，再根据范围和函数单调性判断时取最大值，最后计算得到答案.
【详解】如图所示：根据函数的图象
得，所以．结合函数图象，
易知当时在上取得最大值，所以
又，所以，
再结合，可得，所以.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于，根据数形结合的思想，确定，得到当时在上取得最大值，进而可求得，得出结果.
3．D
【分析】由指数函数和对数函数的图像可以判断a，b，c和0，1的大小，从而可以判断出答案.
【详解】由指数函数的单调性有：
，.
由对数函数的单调性有：
所以.
故选：D
4．D
【分析】设，分别表示出，构造函数，利用函数图象比较大小.
【详解】设，，则，，，
在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，如图，
当时，；当时，；当时，.
故选:D.
【点睛】本题考查利用函数的图象比较大小，构造函数，画出图象是关键.
5．B
【分析】令系数为，解出的值，又函数在上单调递增，可得答案．
【详解】解得，
又函数在上单调递增，则，
故选：B
6．D
【分析】根据指对数性质比较各数的大小关系.
【详解】由，则，
由，故.
故选：D
7．B
【分析】结合复合函数的单调性及二次函数的性质对进行分类讨论，再由分段函数的性质可求．
【详解】若时，
当时，单调递增，此时；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，
若函数值域为，则需，解得；
若时，
当时，单调递减，此时；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，
所以，不满足函数值域为，不符合题意，舍去，
若时，
当时，；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，
所以，不满足函数值域为，不符合题意，舍去，
综上的取值范围为，
故选：B.
8．D
【分析】根据对数函数的性质可知，根据指数函数和幂函数的性质可知，由此即可得到结果.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
9．ABC
【分析】利用给定条件结合基本不等式可判断AB；利用函数的单调性可判断CD.
【详解】对于A，，且，所以，故A正确；
对于B，，又因为，
所以，又等号不成立，故B正确；
对于C，因为，所以，所以,
可得，，所以，
因为在是单调递增函数，所以，故C正确；
对于D，，因为在是单调递增函数，
所以，故D错误.
故选：ABC.
10．CD
【分析】根据指数函数，幂函数及对数函数的性质逐一判断即可.
【详解】由于，
对于A：由于，所以函数为减函数，所以，故A错误；
对于B：由于，所以函数为减函数，
所以，故B错误；
对于C：由于，所以函数在上为增函数，
所以，故C正确；
对于D：由于，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：CD.
11．AC
【分析】对于ABC，根据函数的定义域、奇偶性及单调性等性质即可判断.
对于D，根据奇偶函数的定义和复合函数单调性即可得出D错误.
【详解】对于A，的定义域为，，则为奇函数，由幂函数的性质知：在上单增，所以A正确.
对于B，的定义域为，，所以不是奇函数，所以B错误.
对于C，的定义域为，，则为奇函数，又因为，为增函数，为减函数，为增函数，为增函数，所以C正确.
对于D，有解得：.
，则
是奇函数，令在区间上单调递减，而为增函数，故在上是减函数，所以D错误.
故选：AC.
12．AC
【分析】求函数的奇偶性可判断AB；分离参数可得，根据指数函数的值域可判断C；根据单调性的定义可判断D.
【详解】的定义域为，，则，
所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误；
，因为,所以,，
所以,故的值域为,C正确；
设,则
,
因为，所以，
所以,即，
所以函数是增函数，故D错误，
故选:AC.
13．
【分析】由得函数的周期为2，然后利用周期和对化简可得，从而可求得结果
【详解】解：由题意，函数满足，化简可得，
所以函数是以2为周期的周期函数，
又由时，函数，且，
则
．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：
（1）求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；
（2）解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解．
14．1
【分析】先由幂函数的定义可得，求出的值，再由在上是增函数，可得答案.
【详解】因为函数是幂函数，则，解得或，
又因为在上是增函数，所以，所以.
故答案为：1
15．
【分析】令，则，分别判断函数和的单调性，然后利用复合函数单调性的判断方法即可求出原函数的单调区间.
【详解】令，则．
∵，∴在上单调递减．
易知，在上单调递减，在上单调递增
∴在上单调递增，在上单调递减
故答案为：.
16．8
【分析】根据友好函数的定义结合算出的值，进而求得答案.
【详解】时，的值域为，
又，
所以对应关系为，
值域为的函数定义域还可以是，，
共计8个.
故答案为：8
17．18.87
【分析】根据题意直接列式计算即可.
【详解】因为这台价值万元的新机床，投入使用后，每年的折旧率是，
所以年后这台机床的价值约为万元.
故年后这台机床的价值约为18.87万元.
18．(1)；
(2)详见解析；
(3).
【分析】（1）利用偶函数结合条件即得解析式；
（2）根据指数函数的图像性质可得函数图像，结合图像可得单调区间
（3）利用函数的单调性可得值域.
【详解】（1）∵函数是定义在上的偶函数，
∴，
当时，，
∴，
∴；
（2）因为，可得函数图像如图，
函数的单调递增区间为；
（3）由上可知，在上单调递增，在上单调递减，
又，
故函数在区间上的值域为.
19．（1）；（1）1.
【解析】直接利用指数和对数的运算性质和法则求解.
【详解】（1），
，
;
（2）
.
20．（1）；（2）
【分析】（1）化简即可求出该式子的值；
（2）解对数方程求出，即可得出的值.
【详解】（1）由题意，
（2）由题意，
在中，
，化简得，
两边同除得，解得：或1（舍），
∴.
21．证明见解析
【解析】变换得到，，，再利用对数的运算法则得到证明.
【详解】，故，
故，，，，
，故.
【点睛】本题考查了利用对数的运算法则证明等式，意在考查学生的计算能力和逻辑推理能力.
22．(1)
(2)奇函数，证明见解析
【分析】（1）先设幂函数，带点求出幂，得到幂函数的解析式；
（2）根据函数奇偶性的定义求解.
【详解】（1）设幂函数，因为的图象过点，
所以有，因此；
（2）函数是奇函数，理由如下：
因为的定义域为，
又，所以函数是奇函数．