9.4复数的三角形式 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学必修第二册

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9.4复数的三角形式同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
2．棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知(a，b∈R，且ab≠0)，复平面内，把对应的向量绕原点分别按逆、顺时针方向旋转，得向量，，则，，所对应的复数之和等于（ ）
A． B．
C． D．0
5．法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．0
6．欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
7．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：（，为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知（ ）
A． B．1 C． D．
8．欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.根据欧拉公式，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、多选题
9．已知复数，满足，，且，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．
10．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知复数，，，为坐标原点，，，对应的向量分别为，，，则以下结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则为正三角形
12．已知复数，其在复平面内对应点，下列说法中正确的是（ ）
A．复数的三角形式为
B．在复平面内将点绕坐标原点逆时针旋转后到达点，点所对应的复数
C．在复平面内将点绕坐标原点顺时针旋转后到达点，点所对应的复数为，则
D．
三、填空题
13．如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转，得到，则对应的复数为 （用代数形式表示）.
14．任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中，该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为 ．
15．将复数所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转角θ，所得向量对应的复数是－，则角的最小正值是 ．
四、解答题
16．计算：
(1)；
(2)；
(3)
17．已知：
①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．
②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
③方程（为正整数）有个不同的复数根．
(1)设，求；
(2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合；
(3)复数，求．
18．设复数，
(1)写出的三角形式；
(2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式．
19．设z为复数．
(1)若，求的值；
(2)若关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，求实数k的值．
20．设非零复数满足关系，且的实部为，其中．
(1)当时，求复数，使在复平面上对应的点位于实轴的下方；
(2)是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，请求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由．
21．在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量．
(1)若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示；
(2)若，且点满足，求的重心所对应的复数；
(3)若，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，使得其所对应的复数满足，求证：所对应的点可以构成矩形．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】根据复数的辐角主值的定义进行求解.
【详解】因为，
所以的辐角主值为.
故选：C
2．B
【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.
【详解】，
在复平面内所对应的点为，在第二象限.
故选：B.
3．D
【分析】由复数的三角形式定义以及诱导公式即可求解.
【详解】.
故选：D.
4．D
【分析】
利用复数的三角表示可得出向量，对应的复数，可得结果.
【详解】
易知向量，对应的复数分别为， ；
所以
；
故选：D
5．B
【分析】
变形复数，根据题中定义进行计算，即可判定.
【详解】，
所以
,
所以的虚部为.
故选:B.
6．A
【分析】
直接计算得到，再计算共轭复数得到答案.
【详解】，故.
故选：A.
7．A
【分析】根据所给公式，变形整理化简即可.
【详解】由题意可知，.
故选：A
8．B
【分析】
根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模.
【详解】由题设，.
故选：B
9．ACD
【分析】由，平方后可推出，即可判断D，由此可判断C；根据复数的乘法以及模的计算公式可判断A；根据复数的加法以及模的计算公式可判断B；
【详解】由题意知复数，满足，，且，
则，故，
即，得，
故，D正确；
，
得，A正确；
由于，
故
，B错误；
由以上D的分析可知，若，则，故，C正确；
故选：ACD
10．AC
【分析】
根据复数三角形式的乘除运算法则求解即可.
【详解】因为，，，
所以，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，所以，故D错误，
故选：AC.
11．ABD
【分析】
根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式计算即可判断A；根据复数的除法运算即可判断B；根据向量的数量积的运算律求出与的夹角的余弦值即可判断C；结合C选项即可判断D.
【详解】因为，，，
所以，则，
对于A，，
故
，
，
所以，故A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，设与的夹角为，
若，则，
即，
即，所以，
所以，即与的夹角为，故C错误；
对于D，若，则，
则，
即，由C选项可知与的夹角为，
同理与的夹角为，与的夹角为，
又，
所以，故D正确.
故选：ABD.
12．BD
【分析】根据题意，由复数的运算公式，代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，因为，故A错误；
对于B，设点对应的向量为，则绕坐标原点逆时针旋转后得到对应的复数为，则点对应的复数，故B正确；
对于C，设点对应的向量为，则绕坐标原点顺时针旋转后得到对应的复数为，则点对应的复数，故C错误；
对于D，由B，C可知，，故D正确；
故选：BD
13．
【分析】
根据复数乘法的性质，将逆时针旋转得到的对应的复数，等于将对应的复数乘以，然后计算即可.
【详解】根据复数乘法的性质，将逆时针旋转得到的对应的复数，等于将对应的复数乘以，所以向量对应的复数为
，
故答案为：.
14．/
【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值．
【详解】，
所以辐角主值为．
故答案为：.
15．
【分析】
利用复数的乘法可求的一般形式，故可求的最小正值.
【详解】
∵，
∴将复数所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转角，
所得向量对应的复数为:
，
∴，所以，取得最小正值．
故答案为：.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）直接利用复数的四则运算求解；
（3）利用复数的三角运算求解.
【详解】（1）；
（2）
；
（3）
17．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得.
（2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解.
（3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得.
【详解】（1）依题意，，
所以.
（2）设，则，
因此，，解得，
由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为，
因此对应的依次为，
所以所求的集合是.
（3）当时，，，
则，，
因此关于的方程的根为，
则，
又，
由此可得，
则，
令，得，而为奇数，
所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据公式，即可直接得出答案；
（2）设，根据三角恒等变换表示出，然后根据已知得出的值，代入即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，，
所以，.
（2）由已知可设，
则.
所以，.
由已知可得，所以，
所以，.
又，所以.
所以，.
19．(1)5
(2)
【分析】
（1）把已知等式两边取模求解；
（2）由实数系一元二次方程根与系数的关系列式求解.
【详解】（1）由可得，
则.
（2）关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和，
则，
，
解得：或，
因为方程有两个虚根和，
所以，则.
20．(1)，其中
(2)答案见解析
【分析】
（1）根据题意得，在复平面上对应的点位于实轴的下方得，即可解得结果.
（2）根据，可设，，，
，要满足题意需对任意实数均不成立，可推断，进而解得取得最小值的的值.
【详解】（1）因为，且，所以，进而得．
设．
由，得．
又在复平面上对应的点位于实轴的下方，因此．
由此得，其中，
所以，其中．
（2）由，可设，
则，
得
当，即，时，．
因为，所以当时，有最大值，
此时，整理得．
欲使此等式对任意实数均不成立，则，即，
又为正整数，因此只能．
当时，对任意实数，都使无最大值，只有最小值，
此时．
所以，存在，使得只有最小值，而无最大值，
且当取最小值时，的值为．
21．(1);;
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）复数是关于的方程的一个虚根，可得方程判别式小于0，即可求得答案；
（2）设，则由求得，由三角形重心坐标公式求得的重心坐标，由此可得复数；
（3）求得，说明所对应的点在单位圆上，再取值，说明为单位圆的两直径，即可证明结论.
【详解】（1）复数是关于的方程的一个虚根，，
则，即实数的取值范围；
解方程得，
不妨令复数，另一根为，
故.
（2）由可知，故，
设，则由得，即，
解得，故，故的重心为，
故.
（3）由于，则，
则所对应的点都在单位圆上，
又，则且，
不妨取，，则为单位圆的两直径，
则四边形的对角线互相平分且对角线相等，
则四边形为矩形，即所对应的点可以构成矩形．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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