2.6双曲线及其方程 练习（含解析）

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2.6双曲线及其方程 练习
一、单选题
1．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
2．已知双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
3．已知，分别是双曲线的右顶点和右焦点，点是直线（其中为双曲线的半焦距）上的动点，当的外接圆面积最小时，点恰好在双曲线的一条渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．若双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线渐近线方程是，且与椭圆有共同焦点，两曲线交于四点，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当时，曲线是渐近线方程为的双曲线
C．存在实数，使得曲线为等轴双曲线
D．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件
10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．△的周长为30
D．点在椭圆上
11．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与轴垂直 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点）
12．已知双曲线过点且渐近线方程为，是双曲线的焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．的方程为；
B．的离心率为2；
C．是双曲线上一点，且，则；
D．直线与只有一个公共点.
三、填空题
13．已知曲线的方程为，有下列结论：
①当时，曲线为圆；
②“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件；
③当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为；
④存在实数使曲线为双曲线，其离心率为；
其中正确的结论是 ．（写出所有正确的结论的序号）
14．已知双曲线与圆在第二、四象限分别相交于两点、，点是该双曲线的右焦点，且，则该双曲线的离心率为 .
15．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ．
16．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，则双曲线的渐近线方程为 .
四、解答题
17．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，，；
（2）焦点在x轴上，经过点，
（3）焦点为，，且经过点．
18．已知双曲线：的焦距为，其中一条渐近线的方程为.以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点О的动直线与椭圆E交于A，B两点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点Р为椭圆E的左顶点，，求的取值范围.
19．已知为双曲线的左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点.设.
(1)若点的纵坐标为，求与间满足的函数关系式；
(2)证明：存在常数，使得.
20．已知双曲线经过点，它的左焦点为，且到其渐近线的距离是．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交左支于一点，且的斜率是，求长．
21．世界人工智能大会是一场领域的国际盛会，集聚上千位来自国内外的“最强大脑”，展开了近百场高端论坛头脑风暴.某高校学生受大会展示项目的启发，决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，两个信号源相距10米，是线段的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的位置始终满足：两点同时发出信号，机器鼠接收到A点的信号比接收到点的信号晩秒（注：信号每秒传播米）.在时刻时，测得机器鼠与点间的距离为米.
(1)以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求时刻时机器鼠所在位置的坐标.
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”的风险？
22．设双曲线的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为A，B，以AB为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，若为等腰三角形，求直线的倾斜角．
参考答案：
1．A
【解析】根据双曲线的渐近线方程，可得到值，再由的关系和离心率公式，即可得到答案.
【详解】由渐近线方程为，所以，解得，
所以 ，
所以双曲线的离心率为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率的求法，解题关键是利用渐近线方程的斜率与的关系，找到关于的等量关系，考查学生基本的运算能力，属于基础题.
2．C
【分析】设出双曲线的一条渐近线方程，求出圆的圆心和半径，利用圆的弦长公式以及点到直线的距离公式即可求解．
【详解】解：设双曲线的一条渐近线方程为：，
又由已知圆的方程可得圆心为，，半径，
设圆心到渐近线的距离为，则，
所以，即，所以，
故选：C．
3．C
【分析】由正弦定理可得当的外接圆面积取得最小值时，取得最大值，设直线交轴于点，设点，，由，展开可得利用基本不等式可得，最大，将点代入双曲线的渐近线方程即可求解.
【详解】由为定值及正弦定理（为外接圆半径）可知，
当取得最大值，即取得最大值时，
的外接圆面积取得最小值.
设直线交轴于点，根据双曲线的对称性不妨设点，，
则，，
，
当且仅当，即时，等号成立，此时最大，
的外接圆面积取得最小值，此时点的坐标为，
由题意知点在直线上，所以，得，
故双曲线的离心率.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的简单几何性质，根据正弦定理当的外接圆面积取得最小值时，取得最大值，利用基本不等式得出等号成立的条件是解题的关键，考查了运算能力.
4．C
【分析】根据切线长相等的关系求得，利用双曲线定义求解.
【详解】如图，，，，
所以.根据双曲线定义，
所求轨迹是以A，B为焦点，
实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点），
方程为.
故选:C.
5．C
【分析】根据离心率可得，可得出、的等量关系，由此可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】由已知可得，则，故，
所以，双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
6．B
【分析】根据双曲线方程渐近线方程得等量关系，解得结果.
【详解】由，可得，∴，解得．
故选：B.
7．A
【解析】设，结合双曲线的性质可得，结合基本不等式可得可成立 ，进而可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设， 则由双曲线的定义，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以即.
所以离心率.
故选：A．
【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用、双曲线离心率的求解和基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
8．A
【分析】求出椭圆的焦点坐标，设出双曲线方程，利用渐近线方程以及半焦距，列出方程求解，，即可得到双曲线的方程，与椭圆方程联立求解交点坐标，则答案可求．
【详解】解：椭圆，即，则椭圆的焦点为，
设曲线的一条渐近线方程为，可得，①，
又，②
由①②可得，，则双曲线方程为，
联立，解得或或或．
即，，，．
则四边形的面积为．
故选：A．
9．BD
【分析】将方程化简为，再利用椭圆和双曲线的标准方程的特点依次按选项分析.
【详解】对于A，由方程为，得，
若表示椭圆，则，解得，且，所以A错误．
对于B，当时，曲线为，渐近线方程为，所以B正确．
对于C，若曲线是等轴双曲线，则，方程无解，所以C错误．
对于D，由，当或时，曲线为双曲线；反之若曲线是双曲线，则，解得，或，所以D正确．
故选：BD
10．BCD
【分析】由双曲线方程直接求离心率、并写出渐近线方程，即可判断A、B正误；利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可知C的正误；利用椭圆的定义判断是否在椭圆上，判断D的正误.
【详解】双曲线化为标准形式为，则，，
，故离心率，即A错误；
双曲线的渐近线方程为，即，即B正确；
由双曲线的定义知，，
，则，
△的周长为，即C正确；
对于椭圆，有，，，
，
由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确，
故选：BCD.
11．AB
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项的正误；求出点的坐标，代入双曲线的方程，求出该双曲线的离心率，可判断B选项的正误；求出的值，可判断C选项的正误；利用两点间的距离公式可判断D选项的正误.
【详解】由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确；
不妨设点在第一象限，易知，，，即点，
设，由，得，所以，
所以，即．
因为点在双曲线上，所以，整理得，
所以，解得或（负值舍去），B正确；
，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误；
不妨设点在第一象限，则，
所以，D错误．
故选：AB．
12．BD
【分析】根据给定条件求出双曲线的方程，再逐一分析各选项，计算判断作答.
【详解】因双曲线的渐近线方程为，则设双曲线的方程为，
而点在双曲线上，于是得，即，双曲线的方程为， A错误；
由，，得，双曲线的离心率为，B正确；
由双曲线的定义，，则或，C错误；
直线与双曲线的渐近线平行，直线与只有1个公共点，D正确.
故选：BD
13．①③
【分析】利用圆的方程可判断①的正误；利用曲线为焦点在轴上的椭圆求出参数的取值范围，结合集合包含关系可判断②的正误；利用双曲线的方程以及渐近线方程可判断③的正误；利用等轴双曲线的方程可判断④的正误.
【详解】对于①，当时，曲线的方程为，即，①对；
对于②，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，
，
故“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要而不充分条件，②错；
对于③，当时，曲线的方程为，此时，曲线为双曲线，
且，，双曲线的渐近线方程为，③对；
对于④，若曲线为双曲线，则，解得或，
若双曲线的离心率为，则该双曲线为等轴双曲线.
当时，双曲线的标准方程为，显然；
当时，双曲线的标准方程为， 显然.
因此，不存在实数使曲线为双曲线，其离心率为，④错.
故答案为：①③.
14．
【分析】画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．
【详解】解：双曲线的右焦点为，左焦点为，根据对称性可知是平行四边形，所以
，又点在双曲线上，所以，因为，所以，
所以，在三角形中，，，，，
可得，
，
可得，
即：，
所以双曲线的离心率为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．
15．
【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围．
【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的，
则椭圆与双曲线共焦点，设，则，，
，，
，
，
设，则，
解得，即，
又，且，
，
故的取值范围是．
故答案为：
16．
【分析】根据离心率及化简可得，再由双曲线焦点位置即可求出渐近线方程.
【详解】由，可得，，
解得，
因为双曲线的焦点在y轴上，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
故答案为：
17．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据条件，代入方程，即可得答案；
（2）根据焦点在x轴上，设双曲线方程为，将点坐标代入，联立求解，即可得，即可得答案；
（3）根据焦点坐标，可得c值及焦点在y轴，根据双曲线定义，可得a值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案.
【详解】（1）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为，
因为，，所以双曲线方程为；
（2）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为，
因为经过点，，代入可得，
令，可得，
解得，所以，
所以双曲线方程为：；
（3）因为焦点为，，所以c=6，且交点在y轴，
因为过点且经过点，
根据双曲线定义可得，
解得，
又，
所以双曲线方程为：；
18．(1)
(2)
【分析】（1）由题知，，再结合求解即可；
（2）由题知，故设，则，进而得，再根据求解即可.
(1)
解：因为曲线：的焦距为，所以，
所以，
因为一条渐近线的方程为，
所以，
所以，解得
因为以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为，
所以椭圆的方程为
(2)
解：由（1）知，
由得，
设，则，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，点坐标，根据，得到，代入双曲线方程可得.
（2）由可得.
【详解】（1）
由题意知，设点，因为为线段与的交点，且，所以，
又，所以，即，
所以，化简，得.
因为，结合，所以，
所以.
（2）证明：设，由（1）知，且，
所以，
所以，
所以，即存在，使得成立.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离可得的值，再将代入双曲线方程可得的值，即可求得双曲线方程；
（2）由题意得直线的方程，代入双曲线方程可求得点横坐标，在根据弦长公式即可求得长．
【详解】（1）双曲线的左焦点为，渐近线方程为，即
则到渐近线的距离为，
又将代入双曲线方程得：，所以，
故双曲线方程为；
（2）由题意可得直线的方程为：，即，
则，所以，解得，，即点横坐标为，
所以.
21．(1)
(2)有
【分析】（1）由机器鼠接收到A点的信号比接收到点的信号晩，可得机器鼠的运动轨迹方程，结合机器鼠与点间的距离为米，可得机器鼠此时的坐标；
（2）求出机器鼠的运动轨迹方程到l的最短距离，比较其与2米的大小即可.
【详解】（1）设机器鼠的位置为点，由题意得，由题意可得即，
可得的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，
设其方程为，则，所以，
则的轨迹方程为.
又在时刻时，，则.可得，所以机器鼠所在位置的坐标为.
（2）由题意可知直线，设直线的平行线的方程为，由可得：，
，令，解得，
当时，为双曲线的切线，设切点横坐标为，所以，
结合韦达定理有，所以，所以.
此时，与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离最近的点，此时与的距离为，即机器鼠与最小的距离为，
故如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有“被抓”的风险.
22．
【分析】先求出点坐标，再根据等腰三角形的性质得到，据此求出离心率，再根据斜率公式即可求出倾斜角.
【详解】以AB为直径的圆的方程为，
双曲线过第一象限的渐近线方程为．
由，解得．
由为等腰三角形，得点P在线段的中垂线上，即．
所以，得，
即，解得或（舍）
所以．而，
，则，
即，故直线倾斜角为.

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