江苏省常州市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）
2023-11-12 12:26:30 学考宝 作者：佚名
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常州市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线，则间的距离为（ ）
A. B. C. D.
3.点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A.4 B.3 C.5 D.
4.拋物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（ ）
A.16 B.4 C.3 D.5
7.已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A.-1 B. C.1 D.
8.若存在实数使得直线与圆无公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知曲线，以下说法正确的是（ ）
A.若，则是椭圆，其焦点在轴上
B.若，则是两条直线
C.若，则是双曲线，其渐近线方程为
D.若，则是圆，其半径为
10.已知圆，圆，圆，圆，直线，则（ ）
A.与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支
B.与圆外切 内切的圆的圆心轨迹是椭圆
C.过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线
D.与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线
11.瑞士数学家欧拉在1765在其所著的《三角形的几何学》一书中指出：任意三角形的外心 垂心 重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
12.已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.为中点
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上.
13.点关于直线的对称点为，则直线的方程为__________.
14.设椭圆，双曲线的离心率为，且，则__________.
15.分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
16.椭圆的弦满足，记坐标原点在的射影为，则到直线的距离为1的点的个数为__________.
三 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，矩形的一边在轴上，另一边在轴上方，且，其中，
（1）若为椭圆的焦点，且椭圆经过两点，求该椭圆的方程；
（1）若为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，求双曲线的方程.
18.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，设命题直线与平行；命题：圆与圆相交.若命题 命题中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
19.（本题满分12分）
已知椭圆的右焦点，左 右准线分别为，且分别与直线相交于两点.
（1）若离心率为，求椭圆的标准方程：
（2）当时，求椭圆离心率的取值范围.
20.有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A、B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA OB，其中小路的宽度忽略不计.
（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；
（2）过D再做一条与AB垂直的笔直小路交草坪圆周于E F两点，求四点构成的四边形AEBF面积的最大值.
21.已知抛物线经过点.
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）设为原点，过拋物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交直线于点和点，求证：以为直径的圆经过定点.
22.已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知为直线上任一点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，过的实轴右顶点作垂直于轴的直线与直线分别交于两点，点的纵坐标分别为，求的值.
常州市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷 答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A 8.D
9.BC 10.ABC 11.BC 12.BCD
13. 14. 15. 16.4
17.（1）为椭圆的焦点，且椭圆经过两点
根据椭圆的定义：
在椭圆中：
所求椭圆方程为：
（2）为双曲线的焦点，且双曲线经过两点
根据双曲线的定义：
在双曲线中：
所求双曲线方程为：
18.解：命题为真：由题意得，或，检验符合
命题为真：，圆相交，所以
因为命题、命题中有且只有一个为真命题
若真假，则：
若假真，则：
解得：
综上：实数的取值范围是或.
19.（本题满分12分）
解：（1）由已知得，从而
由得，从而
故，得所求方程为
（2）易得，
从而，
故，
得，
由此离心率，
故所求的离心率范围为.
20.解：建立如图所示的平面直角坐标系，则
（1）小路的长度为，因为
长为定值，故只需要最小即可.
作，记，则
又，故，
此时点为中点.
故小路的最短长度为（百米）.
（2）由垂径定理可得，
所以
当且仅当时，四边形面积的最大值6.
21.【解答】（1）由抛物线经过点，得.所以拋物线的方程为，其准线方程为.
（2）扰物线的焦点为，设直线的方程为.由
得.设，则.直线的方程为，令，
得，同理.设，则.令，即，得或.综上，以为直径的圆经过轴上的定点和.
22.（1）设双曲线，过点，代入坐标可得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设，所以
化简可得：，同理可得：；
所以均是方程的解；所以
又因为
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