2023-2024学年江苏省扬州市广陵区树人中学苏科版八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

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2023-2024学年江苏省扬州市广陵区树人中学八年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，≌，若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.如图≌，点、在直线上，，，则的长为( )
A. B. C. D.
4.等腰三角形的一边为，一边为，则此三角形的周长是( )
A. B. C. 或 D. 或
5.在元旦联欢会上，名小朋友分别站在三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的( )
A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点
6.如图，已知三角形纸片，，，将其折叠，如图，使点与点重合，折痕为，点，分别在，上，那么的度数为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是( )
A. B. C. D.
8.如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：恒成立；的值不变；四边形的面积不变；的长不变，其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9.如图，已知，要使≌，还要添加的一个条件可以是______ 只需填上一个正确的条件．
10.如图，在中，点、、分别是，，上的点，若，，，，则______
11.如图，把一个长方形纸条沿折叠，若，则的度数为______ ．
12.如图，在的方格中，每个小方格的边长均为，则与的数量关系是______ ．
13.如图所示，，，是四个村庄，，，在一条东西走向公路的沿线上，，，村庄，间也有公路相连，且公路是南北走向，，只有之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得，试求建造的斜拉桥长至少有______ ．
14.如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于点、，则的周长为______ ．
15.如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为______．
16.如图，在射线，上分别截取，连接，在、上分别截取，连接按此规律作下去，若，则 ______ ．
17.如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，当点运动结束时，点随之结束运动当点运动到某处时有与全等，则的运动速度是______．
18.如图，在中，，平分，交于点，点、分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．
在图中画出与关于直线成轴对称的；
的面积是______ ．
在直线上找一点，使的长最短．
20.本小题分
如图，已知，，，在同一条直线上，，，与交于点，
求证≌；
若，，求的度数．
21.本小题分
麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度，他们所绘如图，点，，，在直线上点，之间不能直接测量，为池塘的长度，点，在的异侧，且，，测得．
求证：≌；
若，，求池塘的长．
22.本小题分
如图，四边形中，，，，，与相交于点．
求证：≌；
判断线段与的位置关系，并说明理由．
23.本小题分
如图，在中，、分别垂直平分和，交于、两点，与相交于点．
若的周长为，求的长；
若，求的度数．
24.本小题分
如图，已知，点为的平分线上一点，，，垂足分别为、．
求证：；
若，求证：点在的垂直平分线上．
25.本小题分
如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图不写作法，保留作图痕迹．
如图，在边上寻找一点，使；
如图，在边上寻找一点，使得．
26.本小题分
如图甲，已知在中，，，直线经过点，且于，于．
说明≌．
说明．
已知条件不变，将直线绕点旋转到图乙的位置时，若、，则 ______ ．
27.本小题分
【概念学习】
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定：从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
【概念理解】
如图，在中，，，平分，则与 ______ 填“是”或“不是”互为“形似三角形”．
如图，在中，平分，，求证：为的等腰分割线；
【概念应用】
在中，，是的等腰分割线，直接写出的度数．
28.本小题分
在中，，，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点，移动的速度相同，与相交于点．
如图，过点作，交于点；
图中与相等的线段有______、______；
求证：≌；
如图，若，当点移动到的中点时，求的长度；
如图，过点作于点，在点从点向点点不与点，重合移动的过程中，线段与的和是否保持不变？若保持不变，请直接写出与的长度和；若改变，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据轴对称图形定义，可知图中不存在一条直线，折叠后两边可重合．
故选：．
根据轴对称图形定义，找到一条直线，图形沿该直线折叠，两边可完全重合，则为轴对称图形．
本题考查轴对称图形的定义，判断能否找到对称轴是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
在中，，
，
故选：．
根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可得出的度数
本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
≌，
，
故选：．
根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：若是底边，则三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，周长，
若是腰长，则三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，周长，
综上所述，此三角形的周长是或．
故选：．
分边是底边和腰长两种情况讨论，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形，然后求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并判断是否能组成三角形．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可．
【解答】解：的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
凳子应放置的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点，
故选C．
6.【答案】
【解析】解：如图，，，
；
由题意得：，
，
．
故选：．
求出的度数，证明，即可解决问题．
该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；灵活运用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等几何知识点是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，于点，连接，
、分别平分、，，
，
故选：．
过点作于点，于点，连接，根据角平分线的性质可得，再根据即可计算结果．
本题主要考查角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型作于，于只要证明≌，≌，即可逐一判断．
【解答】
解：如图作于，于．
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确，
，
定值，故正确，
定值，故正确，
的长度是变化的，故错误．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：添加条件为：，
在和中，
，
≌，
故答案为：．
要证明≌，题目中有条件，还有公共边，再加一对边相等就可以用证明≌，故可以添加条件．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：、、、，要证明两个三角形全等必须有边相等这一条件．
10.【答案】
【解析】解：在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，由外角的性质，可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：四边形是长方形，
，
，，
由折叠的性质得：，
，
，
故答案为：．
由平行线的性质得，由折叠的性质得，再由平角定义求出，即可求得．
本题考查的是平行线的性质、翻折变换折叠问题，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，
在与中，
，
≌，
，
，
．
故答案为：．
根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意知：，，
在和中，
，
≌，
，
故斜拉桥至少有千米．
故答案为：．
根据，，，得出≌，进而得出，这样可得出斜拉桥长度．
此题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据已知得出≌是解问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，分别是与的角平分线，
，，
，
，，
，，
，，
，
的周长
．
故答案为：．
根据、是角平分线和可以得出，，继而可以得出的周长，从而可以得出答案．
本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，是一道综合题，能够推出，是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：延长交于，
垂直的平分线于，
，
又知，，
≌，
，，
和等底同高，
，
，
故答案为：．
延长交于，根据垂直的平分线于，即可求出≌，又知和等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形的面积．
本题主要考查面积及等积变换的知识点．证明出三角形的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
同理，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
17.【答案】或
【解析】解：设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为，
若≌，
则，，
，，
解得：，；
若≌，
则，，
，
解得：，．
综上，的运动速度是或，
故答案为：或．
分两种情况：≌时，，≌时，，建立方程组求得答案即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是了解全等三角形的对应角相等，对应边相等，解决此题的关键是注意分类讨论．
18.【答案】
【解析】解：连接，过点作于点，如图：
，平分，
且平分，
是线段的垂直平分线，
，
，
根据“垂线段最短”得：，
即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长，
的面积为，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
首先连接，过点作于点，再根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，从而得，则，然后根据“垂线段最短”得，据此可得出当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长，最后根据三角形的面积求出即可．
此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段的性质，等腰三角形的性质熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键．
19.【答案】
【解析】解：如图，根据题意，可得：
点、、关于直线对称的点分别为点、、，连接、、，
则即为所作．
．
故答案为：．
如图，连接交直线于点，连接，
点和点关于直线对称，
直线垂直平分，
，
，
这时的长最短，
点即为所求．
直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用割补法即可得出答案；
利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线．解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的对应点及割补法求三角形的面积．
20.【答案】证明：，
，即，
，，，
≌；
解：如图，
由知，≌，
，
，
，
，，
，
．
【解析】由，可得，证明≌即可；
如图，由知，≌，则，，，由三角形内角和定理可得，进而可求的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21.【答案】证明：，
，
在与中，
≌；
解：≌，
，
，
，，
．
答：的长是．
【解析】先由平行线的性质得到，再利用证明≌即可；
利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
22.【答案】证明：在和中，
，
≌，
解：理由如下：
≌，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据即可证明≌．
根据≌得到，结合得到，即可得结论．
本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：因为、分别垂直平分和，
所以，，
所以的周长，
因为的周长为，
所以；
因为，
所以，
因为，，
所以，
所以，
因为，，
所以，，
所以．
【解析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等边对等角的性质、三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长；
根据三角形的内角和定理列式求出，再求出，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
24.【答案】证明：点为的平分线上一点
，
在和中
≌
连接、，如下图：
由可得：
又，
≌
点在的垂直平分线上
【解析】通过证明≌，即可求证；
连接、，通过证明≌，得到，即可求证．
此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．
25.【答案】解：如图，点为所作；
如图，点为所作．

【解析】作，与的交点为；
作的垂直平分线交于，则，所以．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26.【答案】
【解析】证明：，，
，
，
，，
，
，，
≌．
证明：由知：≌，
，，
，
．
证明：，，
，
，
，
，
，
在和中
，
≌，
，，
、，
．
故答案为：．
由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案；
由得到，，即可求出答案；
与证法类似可证出，能推出≌，得到，，代入已知即可得到答案．
本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
27.【答案】是
【解析】解：，，
，
平分，
，
，
，
和互为“形似三角形”，
故答案为：是；
证明：，，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，，，，
为的等腰分割线；
解：Ⅰ当是等腰三角形时，
如图，
当时，则，
，
此时，
；
如图，
当时，则，
此时，
；
当时，这种情况不存在；
Ⅱ当是等腰三角形时，
如图，
当时，，
，
，
，
，
；
如图，
当，时，
，
由，
得，，
，
；
当时，这种情况不存在；
综上所述：或或．
推出，，，从而得出结论；
可计算得出，，，，从而得出结论；
分为当是等腰三角形和是等腰三角形，当是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论，同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可．
本题是在新定义的基础上，考查了等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类．
28.【答案】
【解析】解：点，同时移动且移动的速度相同，
，
，
，
又，
，，
，
，
故答案为：；；
证明：，，
，
在和中，
，
≌；
解：过点作，交于点，如图所示：
，，
是等边三角形，
，
，
，
由可知：，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
由可知：≌，
，
，
的长度为；
解：线段与的和是保持不变，理由如下：
由可知：，
，
，
由可知：≌，
，
．
由题意可得，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，可得；
由“”可证≌；
先证是等边三角形，可得，由全等三角形的性质可得；
由全等三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
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