广东省广州市真光高级中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

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真光高级中学校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学
2023.12
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、班级等填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色字迹的中性笔直接在答题卡上对应的答题区域内作答，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，考生只需交答题卡．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线过两点，且，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
4．是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
5．已知拋物线的焦点为，定点，点为抛物线上一点，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．6 D．
6．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部．则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．
9．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
10．已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若双曲线上一点满足，则的周长为28
B．渐近线方程为
C．若从双曲线的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
D．双曲线与椭圆的离心率互为倒数
11．已知直线和圆，则（ ）
A．直线恒过定点
B．存在使得直线与直线垂直
C．直线与圆相交
D．直线被圆截得的最短弦长为
12．已知抛物线的准线为，焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为______．
14．求圆上的动点到直线距离的最大值______．
15．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为______．
16．月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点射出的两条光线与圆分别相切于点，称两射线的切点上方部分与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆的“背面”．若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，当取得最大值时的值为______．
四、解答题：（70分，17题10分，其他题每题12分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知数列前项和为．
（1）试写出数列的前5项；
（2）数列是等差数列吗？请说明理由；
（3）求的通项公式．
18．已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与交于两点，且以为直径的圆过点，求直线的方程．
19．如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
20．在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，，且分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
21．已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．
22．已知椭圆的左焦点为，点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的两条互相垂直的直线分别交于两点和两点，若的中点分别为，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．
真光高级中学校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学 答案
2023.12
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、班级等填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色字迹的中性笔直接在答题卡上对应的答题区域内作答，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，考生只需交答题卡．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A 【详解】 因为直线过两点，可得，
又因为，所以，可得，
设直线的倾斜角为，则，因为，所以，所以直线的倾斜角为．
2．【答案】B 【详解】 ，
3．【答案】A 【详解】 当时，两直线分别为：，
两直线斜率相等，则平行且不重合．
若两直线平行且不重合，则或，
综上所述，是两直线平行的充分不必要条件．
4．【答案】C 【详解】 是双曲线上一点，所以，所以，
由双曲线定义可知，
所以或者9，又，所以，
5．【答案】A 【详解】 点是抛物线的焦点，其准线方程为，作于，作于，
，当且仅当为与抛物线的交点时取得等号，
的最小值为8．
6．【答案】B 【详解】 ，故在为直径的圆上，即，
圆在椭圆内部，故，故．
7．【答案】C 【详解】 的中点坐标为，则，
设，则，
相减得到：，即，
又，解得，椭圆的方程为．
8．【答案】D 【详解】 ，设，显然当时，，当时，，要想求解直线的斜率的最大值，此时．
设，则，即，
解得
，故，即，
，故，
当且仅当，即时，等号成立，故直线的斜率的最大值为．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．
9．【答案】 BC【详解】 对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；
对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；
对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，D错误．
10．【答案】 AC【详解】 双曲线的焦点分别为，
对选项A：，故，
的周长为，正确；对选项B：双曲线的渐近线方程为，错误；对选项C：从双曲线的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为，正确；
对选项D：双曲线离心率为，椭圆的离心率，错误；
11．【答案】BC 【详解】 对A，由可得，，
令，即，此时，
所以直线恒过定点，A错误；
对B，因为直线的斜率为，
所以直线的斜率为，即，
此时直线与直线垂直，满足题意，B正确；
对C，因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线与圆相交，C正确；
对D，设直线恒过定点，
圆心到直线的最大距离为，
此时直线被圆截得的弦长最短为，D错误；
12．ABC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【答案】 【详解】 由椭圆方程，可得焦点为
设双曲线的半焦距为，则，因双曲线的离心率为，则
故，所以，所以双曲线的标准方程为：
14．【答案】3 【详解】 圆可化为，其圆心为，半径为1，圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最大值为．故答案为：3．
15．【答案】9 【详解】 先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆的焦点分别为点与点，于是点与点也是双曲线的两个焦点，因此，最后使用基本不等式中“1”的代换，于是就有（当且仅当时取等号），因此的最小值为9．
16．【答案】 【详解】如图所示：切线斜率存在，设切线为，即，则圆心到直线的距离，解得，
切线方程为，当圆与直线相切且与圆外切时半径最大，则，圆心在切线的左上方，故，
即，解得，（舍去负值）．
四、解答题：（70分，17题10分，其他题每题12分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【详解】 （1）由得，，
所以．
（2）由（1）知，所以数列不是等差数列．
（3）当时，；当时，；
综上．
18、【详解】 （1）由题意抛物线的焦点，准线方程是，
的标准方程为．
（2）显然的斜率不为0，设，
联立，得
，
又，所以，即，
即，
即，解得，
所以直线的方程为，即或．
19．【小问1详解】 中，，即，满足，故，
平面，平面，故，
又平面，故平面；
【小问2详解】 如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，
，，
平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，取得到，
平面与平面夹角的平面角为锐角，
故余弦值为．
20．【详解】 （1）证明：取中点，连接，
为的中点，
，又，
四边形为平行四边形：
平面，平面，
平面；
（2）平面平面，平面平面，平面，，平面，取中点，连接，则平面，
，，，，又
，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，
，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
，平面与平面所成的夹角的余弦为
21．（12分）【详解】 （1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，由条件可得，即，
则根据双曲线的定义可知，点是以为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则，可得，
所以曲线的方程为．
（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为，即，
由于且直线的斜率不等于0，不妨设，，则，
由可得，
联立方程，消去得
则，由韦达定理可得
由，解得，
代入可得，
解得，即，
因此直线，即．
22．【小问1详解】 椭圆的左焦点为，则右焦点为，点在椭圆上，
取得到，即，又，解得，（舍去负值），故椭圆方程为，
【小问2详解】 当两条直线斜率存在时，设的直线方程为，
则，整理得到，
，
故，即，
同理可得：，则，
故直线的方程为：，
取，
．
故直线过定点．
当有直线斜率不存在时，为轴，过点．
综上所述：直线必过定点

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