2.7抛物线及其方程 练习（含解析）

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2.7抛物线及其方程 练习
一、单选题
1．抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点到轴的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
2．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，则该圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．设，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．设抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和8，则该抛物线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线C交于，两点，若，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为3，则（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
8．已知抛物线：的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为且是边长为8的正三角形，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．抛物线：焦点为，且过点，直线，分别交于另一点C和D，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线过定点
C．上任意一点到点和直线的距离相等
D．
10．已知抛物线C：的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，垂足为Q，若四边形MQPF为矩形，则（ ）
A．准线l的方程为 B．矩形MQPF为正方形
C．点M的坐标为 D．点M到原点O的距离为
11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C相交于两点，则（ ）
A． B．
C． D．△AOB的面积为
12．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为P，过点F的直线与抛物线交于点M，N，过点P的直线与抛物线交于点A，B，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．抛物线的准线被圆截得的弦长为，则 .
14．动点到点等于到直线的距离，则点的轨迹方程为
15．已知抛物线方程为，则其焦点坐标为 ．
16．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，与x轴垂直，Q为y轴上一点，且，若，则抛物线C的准线方程为 ．
四、解答题
17．一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.

(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；
(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.
18．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且抛物线的准线与椭圆相交的弦长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设两条不同的直线与直线交于点，且倾斜角之和为，直线交椭圆于点、，直线交椭圆于点、，求的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5，
(1)求抛物线的方程；
(2)若斜率为1的直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程.
20．双曲线（）的左、右焦点分别为、，抛物线的准线过且与双曲线的实轴垂直，若抛物线上的任意一点到的距离比它到轴的距离大3，过的直线与双曲线的右支相交于A、两点，若弦长等于抛物线的通径长的2倍，且的周长为56，求双曲线和抛物线的方程.
21．已知抛物线，直线垂直于轴，与交于两点，为坐标原点，过点且平行于轴的直线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)点在直线上运动，过点作曲线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为5．双曲线x2﹣＝1的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线的一条渐近线与直线AP垂直．
（1）求抛物线的方程及双曲线的离心率；
（2）设点M在双曲线上，且＝0，求M点到x轴的距离；
（3）过F2且斜率为1的直线与双曲线交于D，E两点，求线段DE的长度．
参考答案：
1．D
【分析】根据抛物线的定义列式求解即可.
【详解】抛物线的焦点，准线，
设点，根据点到焦点的距离为1得，，解得，
则点到轴的距离是，
故选：D
2．D
【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案.
【详解】设，
则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
3．C
【分析】根据抛物线焦点确定圆心坐标，由直线与圆相切及点线距离求圆的半径，即可得圆的方程.
【详解】因为圆的圆心为抛物线的焦点，所以，
圆的方程为，与直线相切，
所以，则.
故选：C
4．B
【分析】由表示两点与点的距离，而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，画出图象，当三点共线时，可求得最小值.
【详解】详解：由题意，，
由表示两点与点的距离，
而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，
则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，
由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，
由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，
即为切点，设，
由，可得，
设，则递增，且，可得切点，
即有，则的最小值为，
故选：B.
5．D
【解析】设抛物线上一点为，根据到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和8，列方程组解之即可得解.
【详解】解：∵抛物线上一点到对称轴的距离8，
∴设该点为，则的坐标为
∵到抛物线的焦点的距离为10，
∴由抛物线的定义，得（1）
∵点是抛物线上的点，∴（2）
（1）（2）联解，得或，
故抛物线方程为或.
故选：D
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题.
6．B
【分析】由焦点坐标写出直线的方程，设，，把直线方程代入抛物线方程整理由韦达定理可得，再由抛物线的定义表示出焦点弦长为，从而可求得.
【详解】解：抛物线的焦点为，
所以直线方程为，代入抛物线方程并整理得，
设，，则，
又，∴，所以.
故选：B
7．A
【分析】根据题意，求得，圆心，圆的半径，结合圆的性质，列出方程，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，
又由圆，可得圆心，半径，
因为与圆上点的距离最小值，可得，解得.
故选：A.
8．C
【分析】依题意，画出草图，则，，即可求出，即可得解；
【详解】解：依题意，设准线与轴相交于点，则，，所以，所以，即，所以抛物线方程为
故选：C
【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.
9．ACD
【分析】将点的坐标代入，即可得到抛物线方程判断A，由抛物线的定义即可判断C，联立直线与抛物线方程，代入计算，即可判断BD.
【详解】抛物线过点，所以，，故A正确；
所以抛物线，上任意一点到和准线的距离相等，故C正确；设，，设，则，
所以的方程为，即，
联立，得，
当时，，得，
代换，得到，
所以，故D正确；
直线：，即，不过定点，故B错误.
故选：ACD.
10．ABD
【分析】各选项根据抛物线的定义和性质可以得出结论.
【详解】由抛物线C：，得其准线l的方程为，A正确；
由抛物线的定义可知，又因为四边形MQPF为矩形，所以四边形MQPF为正方形，B正确；
所以，点M的坐标为，所以，C错误，D正确．
故选：ABD．
11．BC
【分析】根据抛物线方程得到焦点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可判断A、B，根据焦点弦公式判断C，再求出原点到直线的距离，即可求出三角形的面积；
【详解】解：抛物线的焦点坐标为，所以直线：，
则，消去得，所以，，
所以，故A错误，C正确；
，故B正确；
又到直线：的距离，所以，故D错误；
故选：BC
12．AC
【分析】设直线：，，，联立方程，利用韦达定理求得，，计算分析即可判断AB；设直线AB：，，，联立方程，利用韦达定理求得，，计算分析即可判断CD.
【详解】由抛物线得，
设直线：，，，
联立消去x可得，
则，，
A项：，A正确；
B项：因为，所以，B错误；
由抛物线得准线为，则，
因为过点P的直线与抛物线交于点A，B，
所以直线AB斜率存在且不为零，
故设直线AB：，，，
联立，消去x可得，则，，
故，，，且，
C项：，C正确；
D项：，
又，所以，D错误．
故选：AC.
13．
【分析】根据抛物线的准线被圆截得的弦长为，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
又由抛物线的准线方程为，
因为抛物线的准线被圆截得的弦长为，
可得圆心到准线的距离为，解得.
故答案为：
14．
【分析】由抛物线的定义可得，轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，写出抛物线方程．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点到点和到直线距离相等的动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，，
故抛物线方程为；
故答案为：．
15．
【分析】先将抛物线的方程转化为标准方程的形式，即可判断抛物线的焦点坐标为，从而解得答案.
【详解】解：因为抛物线方程为，即，
所以，，
所以抛物线的焦点坐标为，
故答案为：.
16．
【分析】先求出两点坐标，以p表示出条件，解得p即可求得抛物线C的准线方程.
【详解】抛物线的焦点F.
由抛物线C的对称性，不妨取，则
由，可知，
直线方程可设为，
则，故有
故，则抛物线C的准线方程为
故答案为：
17．(1)抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；
(2)
【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可；
（2）利用待定系数法、代入法进行求解即可.
【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为：，把代入方程中，得
，
所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；

（2）设抛物线的方程为，
把代入方程中，得，
所以焦点的坐标为：.
18．（1）；（2）．
【分析】（1）利用椭圆的定义可求得的值，结合的值可求得的值，进而可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线为，直线为，，设点、、、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求得，同理可得，分、两种情况讨论，利用基本不等式与不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
设，由已知得，，
由椭圆的定义可得，则，，
则椭圆的标准方程为；
（2）因为两条不同的直线与直线交于点，且倾斜角之和为，
所以可设直线为，直线为，，
设、、、，
将直线的方程代入椭圆方程得
，
所以，，
所以，
同理，
所以，
当时，所以，
当且仅当时，即时，不等式中的等号成立，
所以的取值范围为；
当时，所以，
当且仅当，即时，不等式中的等号成立，所以的取值范围为，
综上，的取值范围为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意建立关于的等式，解出即可求得抛物线方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，将数量积用表示，再由建立方程，即可求解．
【详解】（1）由题可知，点到抛物线准线的距离为5，
抛物线的准线方程为，点的横坐标为4，
，解得，
抛物线的方程为；
（2）根据题意可设直线的方程为，

联立，得，
设，，，，则，，
，
，
解得，此时都有，
，直线的方程为，
即．
20．双曲线的方程为，抛物线的方程为
【分析】由抛物线的定义可知， ，从而得到抛物线方程，又弦长等于抛物线的通径长的2倍，且的周长为56，由双曲线的定义可知，，，即的周长为，进而得到双曲线的方程.
【详解】依题可知抛物线的焦点为，所以，
由抛物线的定义可知，，所以，
所以抛物线的方程为，
其通径长为，从而，
由双曲线的定义可知，，，
所以，
所以的周长为，
解得，又因为，所以，
所以双曲线的方程为 .
综上所述，双曲线的方程为，
抛物线的方程为 .
21．(1)
(2)存在定点
【分析】（1）由相关点代入法求轨迹方程即可；
（2）先由特殊位置确定定点在轴上，设定点，由相切求出切点满足的关系式，再由垂直的坐标条件求解.
【详解】（1）设，则，
由题意线垂直于轴，与交于两点，知，
过点且平行于轴的直线方程为：，
直线的方程为：，
令，得，即，
由得，
因为在抛物线上，即，
则，化简得，
由题意知不重合，故，
所以曲线的方程为

（2）由（1）知曲线的方程为，
点在直线上运动， 当点在特殊位置时，
两个切点关于轴对称，
故要使得，则点在轴上．

故设，
曲线的方程为，求导得，
所以切线的斜率，
直线的方程为，
又点在直线上，
所以，
整理得，
同理可得，
故和是一元二次方程的根，
由韦达定理得，
，
当时，恒成立，
所以存在定点，使得恒成立．

22．（1）双曲线方程为x2﹣4y2＝1，双曲线的离心率为；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意及拋物线的定义可得p=8，进而得到拋物线的标准方程，再根据双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可求得双曲线方程；
（2）利用焦点三角形的面积公式可得，再利用等面积法即可求得M点到x轴的距离；
（3）求得直线的方程.利用弦长公式直接求解即可.
【详解】（1）依题意，抛物线的准线方程为x＝﹣4，故p＝8，则抛物线方程为y2＝16x，
由点P（1，y0）（y0＞0）在抛物线上，故y0＝4，即P（1，4）.
又双曲线的左顶点为A（﹣1，0），故，
由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知，，即，故双曲线方程为x2﹣4y2＝1，
所以双曲线的离心率为；
（2）∵，∴MF1⊥MF2，即∠F1MF2＝90°，
由双曲线中焦点三角形的面积公式有，，
又，解得，
∴M点到x轴的距离为；
（3）易知，，则直线l的方程为，与双曲线方程联立可得，，
设D（x1，y1），E（x2，y2），则，
由弦长公式有，＝．

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