2023-2024学年江苏省南通市崇川区启秀苏科版中学八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

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2023-2024学年江苏省南通市崇川区启秀中学八年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列说法正确的是( )
A. 面积相等的两个三角形全等 B. 周长相等的两个三角形全等
C. 形状相同的两个三角形全等 D. 能够完全重合的两个三角形全等
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在和中，，点，，在同一条直线上，则添加以下条件，仍然不能判定≌的是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再作出的垂线，使点、、在同一条直线上如图，可以说明≌，得，因此测得的长就是的长，判定≌，最恰当的理由是( )
A. B. C. D.
5.如图，是的中线，交的延长线于点，，，则的取值不可能是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在中，，，，，则的度数是( )
A. B.
C. D.
7.若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，点是内部的一点，点到三边，，的距离，，则的度数为( )
A. B.
C. D.
9.如图，、相交于点，，，则图中全等三角形共有( )
A. 对 B. 对
C. 对 D. 对
10.如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，：：，则长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）
11.计算： ______ ．
12.在与中，，，，，，那么______．
13.如图，已知点为的两条角平分线的交点，过点作于点，且，若的周长是，则的面积为______ ．
14.如图，点、、三点在同一直线上，且，，，若，则______
15.如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且若，则的长为 ．
16.若，则的值等于______ ．
17.如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是______ ．
18.如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动它们运动的时间为设点的运动速度为，若使得与全等，的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
计算：
； ；
； ．
20.本小题分
如图，在直角中，．
请用尺规作图法在边上求作一点，使得点到边，的距离相等保留作图痕迹，不写作法
若，，则的面积是______ 直接写出结果．
21.本小题分
如图，，，点、在上，且，求证：．
22.本小题分
如图，在中，，于点，于点，若求证：平分．
请你补全下述证明过程：
证：，
在和中，， ______ ， ______ ，
≌______
．
，______ ，______
平分．
23.本小题分
如图，、相交于点，，求证：．
24.本小题分
如图，，点是的中点．平分．
求证：是的平分线；
已知，，求四边形的面积．
25.本小题分
如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连结、．
求证：；
试判：与的关系？并说明理由．
26.本小题分
在中，，点是射线上的一动点不与点、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接．
如图，当点在线段上，且时，那么 ______ 度；
设，．
如图，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
如图，当点在线段的延长线上，时，请将图补充完整，写出此时与之间的数量关系并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、面积相等的两个三角形不一定全等，所以本选项说法错误，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定全等，所以本选项说法错误，不符合题意；
C、形状相同的两个三角形不一定全等，所以本选项说法错误，不符合题意；
D、能够完全重合的两个三角形全等，所以本选项说法正确，符合题意．
故选：．
根据三角形全等的判定定理进行解答即可．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】
【解析】解：添加用判断≌，
添加，，，
≌，
添加，不能判断≌
添加用判断≌，
故选：．
A.用判断≌；
B.≌；
C.不能判断≌；
D.用判断≌．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、掌握这几种方法的熟练应用．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时注意选择．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】
解：因为证明在≌用到的条件是：，，，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法．
故选D．
5.【答案】
【解析】解：是的中线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
则的取值不可能是．
故选：．
证明≌，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是得到≌．
6.【答案】
【解析】解：在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故选：．
证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判断定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，即
，解得：．
故选：．
直接利用提取公因式法、幂的乘方运算法则将原式变形求解即可．
本题主要考查了幂的乘方运算、提取公因式等知识点，正确将原式变形是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：点到三边，，的距离，
、是、的角平分线，
，，
，
，
，
．
故选：．
先根据点到三边，，的距离得到、是、的角平分线，利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线性质从而利用角平分线的定义可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，，，
≌，
，，，
，，，
≌，
，，，
，，，
≌，
，，，
≌，
故图中全等三角形有≌，≌，≌，≌，共对，
故选C．
全等三角形的判定定理有，，，，根据定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，能正确应用全等三角形的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，难度适中．
10.【答案】
【解析】解：如图，在上截取，连接，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
周长为，
，
，
：：，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
利用同底数幂的乘法运算法则进行运算即可．
本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】
【解析】解：如图：
在与中，
，
≌中，
，
，
，
故答案为：．
根据已知可得≌中，从而，即可得到答案．
本题考查三角形全等的判定及应用，掌握全等三角形的判定定理和根据已知画出图形是解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：过点作于点，于点，连接，如图：
点为的两条角平分线的交点
平分，平分，
又，，，，
，，
，，，
，
的周长是，
，
．
首先过点作于点，于点，连接，由角平分线的性质得，，然后由三角形的面积公式分别求出，，，由此可得，最后再根据的周长是得，据此即可求出的面积．
此题主要考查了角平分线的性质，三角形的周长和面积，熟练掌握三角形的周长和面积公式，理解角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
先证明≌，得出，，由三角形的外角的性质得出，再根据，即可求出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解决问题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，可得，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
是的中点，，
．
故答案为：
由，可得，由直角三角形两锐角互余，可得，由，由直角三角形两锐角互余，可得，根据同角的余角相等，可得，然后根据判断≌，根据全等三角形的对应边相等即可得到，，由是的中点，得到．
此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
先把化成，然后根据同底数幂的乘法法则计算，得出，从而求出的值．
本题考查了同底数幂的乘法，熟知：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
17.【答案】
【解析】解：作轴于点，作轴于点，如图所示，
则，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，，
，，
，
点的坐标为，
故答案为：．
先证明≌，然后即可得到，，然后再根据点的坐标为，点的坐标为，即可得到点的坐标．
本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】或
【解析】解：与全等，分两种情况：
≌，
此时，，
，，
，，
，
，
的速度为；
≌，
此时，，
，
，
，
的速度为，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
与全等，分两种情况：≌，≌，分别求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与动点的综合，注意分情况讨论是解题的关键．
19.【答案】解：
；
；
；
．
【解析】先根据同底数幂的乘法法则进行计算，再求出答案即可；
先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；
先变形，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；
先根据积的乘方进行变形，再求出答案即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘法与积的乘方等知识点，能正确根据积的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算是解此题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图，点即为所求．
如图，作于点，
是的角平分线，
，
，
故答案为：．
要使点到边，的距离相等，只要作的角平分线即可；
作于点，得，依据代入数据解答即可．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】证明：，，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
【解析】先由平行线的性质得，，再证出，然后证≌，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】
【解析】证明：，
在和中，
，
≌，
，
，，，
平分．
故答案为：，，，，．
由，，得即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明≌，得，再根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”证明平分，于是得到问题的答案．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上等知识，证明≌是解题的关键．
23.【答案】证明：如图，连接，
在和中，
，
≌，
．
【解析】利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键．
24.【答案】证明：过点作于点，
，平分，
，
是的中点，
，
，
又，，
平分．
解：平分，，，
，，
，
≌，
同法可证≌，
．
【解析】过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分；
利用全等三角形的性质证明，可得结论．
此题主要考查了梯形的面积，角平分线的性质和判定，解题关键是掌握角平分线的性质和判定定理．
25.【答案】证明：，，
，
，，
，
；
解：与的关系为：，，理由如下：
，
，
由得：，
在和中，
，
≌，
，，
又，，
，
．
【解析】易证，又，由三角形内角和定理即可得出结论；
先证≌，得出，，再由，，则，即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26.【答案】解：
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
作出图形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
．
【解析】解：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
故答案为．
见答案
易证，即可证明≌，可得，即可解题；
易证，即可证明≌，可得，根据即可解题；
易证，即可证明≌，可得，根据，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证≌是解题的关键．
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